与えられた行列式 $A$ について、以下の問いに答えます。 (1) 第2行で余因子展開します。 (2) 第4列で余因子展開します。 (3) 行列式 $|A|$ の値を求めます。 $|A| = \begin{vmatrix} 0 & -1 & 5 & 3 \\ 3 & -2 & -2 & 2 \\ 4 & 0 & -4 & 0 \\ 6 & 0 & 8 & 0 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列式 $A$ について、以下の問いに答えます。

(1) 第2行で余因子展開します。

(2) 第4列で余因子展開します。

(3) 行列式 $|A|$ の値を求めます。

$|A| = \begin{vmatrix} 0 & -1 & 5 & 3 \\ 3 & -2 & -2 & 2 \\ 4 & 0 & -4 & 0 \\ 6 & 0 & 8 & 0 \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 第2行で余因子展開する。

$|A| = 3C_{21} + (-2)C_{22} + (-2)C_{23} + 2C_{24}$

ここで、$C_{ij}$ は $(i,j)$ 成分の余因子を表します。

$C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} -1 & 5 & 3 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \end{vmatrix} = -((-1)\begin{vmatrix} -4 & 0 \\ 8 & 0 \end{vmatrix} - 5\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} + 3\begin{vmatrix} 0 & -4 \\ 0 & 8 \end{vmatrix}) = 0$

$C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 0 & 5 & 3 \\ 4 & -4 & 0 \\ 6 & 8 & 0 \end{vmatrix} = 0\begin{vmatrix} -4 & 0 \\ 8 & 0 \end{vmatrix} - 5\begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} + 3\begin{vmatrix} 4 & -4 \\ 6 & 8 \end{vmatrix} = 3(32+24) = 3(56) = 168$

$C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 0 & -1 & 3 \\ 4 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & 0 \end{vmatrix} = -(0 -(-1)(0-0) + 3(0-0)) = 0$

$C_{24} = (-1)^{2+4} \begin{vmatrix} 0 & -1 & 5 \\ 4 & 0 & -4 \\ 6 & 0 & 8 \end{vmatrix} = 0 - (-1)(32+24) + 5(0-0) = 56$

$|A| = 3(0) + (-2)(168) + (-2)(0) + 2(56) = -336 + 112 = -224$

(2) 第4列で余因子展開する。

$|A| = 3C_{14} + 2C_{24} + 0C_{34} + 0C_{44}$

$C_{14} = (-1)^{1+4} \begin{vmatrix} 3 & -2 & -2 \\ 4 & 0 & -4 \\ 6 & 0 & 8 \end{vmatrix} = -(3(0-0) - (-2)(32+24) + (-2)(0-0)) = -2(56) = -112$

$C_{24} = 56$ (上で計算済み)

$|A| = 3(-112) + 2(56) = -336 + 112 = -224$

(3) 行列式の値を計算する。

上記より、 $|A| = -224$

3. 最終的な答え

(1) 第2行での余因子展開: $|A| = -224$

(2) 第4列での余因子展開: $|A| = -224$

(3) $|A| = -224$