与えられた行列 $A$ の行列式 $|A|$ を計算し、その逆行列 $A^{-1}$ の (2,3) 成分と (3,1) 成分を求める問題です。 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 4 & 1 & 5 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ の行列式 $|A|$ を計算し、その逆行列 $A^{-1}$ の (2,3) 成分と (3,1) 成分を求める問題です。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 4 & 1 & 5 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の行列式 $|A|$ を計算します。

$|A| = 1(1 \cdot 5 - (-1) \cdot 1) - 2(1 \cdot 5 - (-1) \cdot 4) + 3(1 \cdot 1 - 1 \cdot 4) = 1(5 + 1) - 2(5 + 4) + 3(1 - 4) = 6 - 18 - 9 = -21$

次に、逆行列 $A^{-1}$ を求めます。逆行列の $(i, j)$ 成分は、余因子行列の転置の $(i, j)$ 成分を $|A|$ で割ったものです。

$A^{-1}_{ij} = \frac{C_{ji}}{|A|}$

ここで $C_{ij}$ は $A$ の $(i, j)$ 余因子です。

$A^{-1}$の $(2,3)$ 成分を求めるには、$C_{32}$ を計算する必要があります。

$C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (-1)(1 \cdot (-1) - 3 \cdot 1) = (-1)(-1 - 3) = 4$

したがって、$A^{-1}_{23} = \frac{C_{32}}{|A|} = \frac{4}{-21} = -\frac{4}{21}$

$A^{-1}$の $(3,1)$ 成分を求めるには、$C_{13}$ を計算する必要があります。

$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 - 1 \cdot 4) = 1 - 4 = -3$

したがって、$A^{-1}_{31} = \frac{C_{13}}{|A|} = \frac{-3}{-21} = \frac{1}{7}$

3. 最終的な答え

行列 $A$ の行列式 $|A|$ は $-21$ です。

逆行列 $A^{-1}$ の (2,3) 成分は $-\frac{4}{21}$ です。

逆行列 $A^{-1}$ の (3,1) 成分は $\frac{1}{7}$ です。

行列式: $|A| = -21$

$A^{-1}$ の (2,3) 成分: $-\frac{4}{21}$

$A^{-1}$ の (3,1) 成分: $\frac{1}{7}$