与えられた2次正方行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}$ を対角化して、$A^9$と$A^{10}$を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた2次正方行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}$ を対角化して、$A^9$と$A^{10}$を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 行列 A の固有値を求めます。

固有方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解きます。ここで $I$ は単位行列です。

$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 4 & -1 - \lambda \end{vmatrix} = (1 - \lambda)(-1 - \lambda) - (2)(4) = \lambda^2 - 1 - 8 = \lambda^2 - 9 = 0$

$\lambda^2 = 9$ より、固有値は $\lambda_1 = 3$ と $\lambda_2 = -3$ です。

(2) 各固有値に対応する固有ベクトルを求めます。

固有値 $\lambda_1 = 3$ に対する固有ベクトルを $v_1 = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ とすると、$(A - 3I)v_1 = 0$ を満たします。

$\begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 4 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-2x + 2y = 0$ より $x = y$ です。よって、$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ とできます。

固有値 $\lambda_2 = -3$ に対する固有ベクトルを $v_2 = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ とすると、$(A + 3I)v_2 = 0$ を満たします。

$\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$4x + 2y = 0$ より $y = -2x$ です。よって、$v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ とできます。

(3) P と D を構成します。

$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}$

ここで $P$ は固有ベクトルを並べた行列、 $D$ は固有値を対角成分に持つ対角行列です。

$A = PDP^{-1}$ となります。

$P^{-1} = \frac{1}{(1)(-2) - (1)(1)} \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = -\frac{1}{3} \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

(4) $A^n$ を計算します。

$A^n = PD^nP^{-1}$

$A^9 = PD^9P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3^9 & 0 \\ 0 & (-3)^9 \end{pmatrix} \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \frac{3^9}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = 3^8 \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = 3^8 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} = 6561 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6561 & 13122 \\ 26244 & -6561 \end{pmatrix}$

$A^{10} = PD^{10}P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3^{10} & 0 \\ 0 & (-3)^{10} \end{pmatrix} \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \frac{3^{10}}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = 3^9 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = 3^9 \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = 3^{10} I = 59049 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 59049 & 0 \\ 0 & 59049 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^9 = \begin{pmatrix} 6561 & 13122 \\ 26244 & -6561 \end{pmatrix}$

$A^{10} = \begin{pmatrix} 59049 & 0 \\ 0 & 59049 \end{pmatrix}$