$a, b$ を定数とする。2次不等式 $x^2 - ax - b < 0$ の解が $-3 < x < 5$ となるとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a, b$ を定数とする。2次不等式 $x^2 - ax - b < 0$ の解が $-3 < x < 5$ となるとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

2次不等式 $x^2 - ax - b < 0$ の解が $-3 < x < 5$ であることから、この不等式の解は $x = -3$ と $x = 5$ を解とする2次方程式 $x^2 - ax - b = 0$ の解であると言える。

よって、$x^2 - ax - b = (x + 3)(x - 5)$ となるはずである。

展開すると、

$(x + 3)(x - 5) = x^2 - 5x + 3x - 15 = x^2 - 2x - 15$

したがって、

$x^2 - ax - b = x^2 - 2x - 15$

係数を比較すると、

$a = 2$

$b = 15$

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = 15$