$x = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$、 $y = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$のとき、$(x-y)(x^2 + y^2)$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$、 $y = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$のとき、$(x-y)(x^2 + y^2)$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x-y$を計算します。

$x - y = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

次に、$x^2$と$y^2$を計算します。

$x^2 = (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2})^2 = \frac{6 + 2\sqrt{12} + 2}{4} = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{4} = 2 + \sqrt{3}$

$y^2 = (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})^2 = \frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{4} = \frac{8 - 4\sqrt{3}}{4} = 2 - \sqrt{3}$

したがって、$x^2 + y^2 = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$

最後に$(x-y)(x^2 + y^2)$を計算します。

$(x-y)(x^2 + y^2) = (\sqrt{2})(4) = 4\sqrt{2}$

したがって求める答えは $4\sqrt{2}$である。

しかし、問題文では、$(x-y)(x^2+y^2) = \boxed{12} \sqrt{\boxed{13}}$ となっています。

$x = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}, y = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$　のとき、

$x - y = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2} - \sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

$x^2 = \frac{6+2+2\sqrt{12}}{4} = \frac{8+4\sqrt{3}}{4} = 2 + \sqrt{3}$

$y^2 = \frac{6+2-2\sqrt{12}}{4} = \frac{8-4\sqrt{3}}{4} = 2 - \sqrt{3}$

$x^2 + y^2 = 2+\sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} = 4$

$(x-y)(x^2+y^2) = \sqrt{2} * 4 = 4\sqrt{2}$

もしも、問題が $(x+y)(x^2+y^2)$　だった場合

$x+y = \sqrt{6}$

$(x+y)(x^2+y^2) = \sqrt{6} * 4 = 4 \sqrt{6}$

与えられた問題文と解答が矛盾しています。

問題文に誤りがあると考え、$(x-y)(x^2+y^2)$の計算結果は $4\sqrt{2}$ です。

もし、問題が$(x+y)(x^2-y^2)$ならば

$x+y=\sqrt{6}, x-y=\sqrt{2}$

$x^2-y^2 = (x+y)(x-y) = \sqrt{6} * \sqrt{2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

$(x+y)(x^2-y^2) = \sqrt{6}*2\sqrt{3} = 2\sqrt{18} = 2 * 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

いずれにしても、与えられた解答にはなりません。

問題文に誤りがあると考えられるので、修正された問題を解きます。

$(x-y)(x^2+y^2) = 4 \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$4\sqrt{2}$