問題は2つのパートに分かれています。 パート1では、2次関数 $y = \frac{1}{4}x^2 - 3x + 10$ （定義域 $2 \le x \le 8$）について、グラフの頂点、軸、最大値、最小値を求める問題です。 パート2では、$a > 0$ である2次関数 $y = ax^2 - 4ax + 2$ （定義域 $1 \le x \le 5$）について、最大値が7であるときの $a$ の値、最小値が-6であるときの $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は2つのパートに分かれています。

パート1では、2次関数 $y = \frac{1}{4}x^2 - 3x + 10$ （定義域 $2 \le x \le 8$）について、グラフの頂点、軸、最大値、最小値を求める問題です。

パート2では、$a > 0$ である2次関数 $y = ax^2 - 4ax + 2$ （定義域 $1 \le x \le 5$）について、最大値が7であるときの $a$ の値、最小値が-6であるときの $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

パート1

(1) 頂点を求めるには、平方完成を行います。

$y = \frac{1}{4}x^2 - 3x + 10 = \frac{1}{4}(x^2 - 12x) + 10 = \frac{1}{4}(x^2 - 12x + 36 - 36) + 10 = \frac{1}{4}(x - 6)^2 - 9 + 10 = \frac{1}{4}(x - 6)^2 + 1$

よって、頂点は $(6, 1)$ で、軸は $x = 6$ です。

(2) $2 \le x \le 8$ の範囲で考えます。軸は $x=6$ なので、頂点は定義域に含まれます。

$x = 2$ のとき、$y = \frac{1}{4}(2 - 6)^2 + 1 = \frac{1}{4}(16) + 1 = 4 + 1 = 5$

$x = 8$ のとき、$y = \frac{1}{4}(8 - 6)^2 + 1 = \frac{1}{4}(4) + 1 = 1 + 1 = 2$

頂点の $y$ 座標は $1$ で、これは最小値となります。最大値は $x = 2$ のときの $y$ 座標である $5$ です。

したがって、

$x = 2$ で最大値 $5$

$x = 6$ で最小値 $1$

パート2

(1) $y = ax^2 - 4ax + 2 = a(x^2 - 4x) + 2 = a(x^2 - 4x + 4 - 4) + 2 = a(x - 2)^2 - 4a + 2$

軸は $x = 2$ で、定義域は $1 \le x \le 5$ です。

$a > 0$ なので、下に凸のグラフになります。

最大値は $x = 5$ のときにとります。

$y = a(5 - 2)^2 - 4a + 2 = 9a - 4a + 2 = 5a + 2$

$5a + 2 = 7$ より、$5a = 5$ なので、$a = 1$

(2) 最小値は $x = 2$ のときにとります。

$y = a(2 - 2)^2 - 4a + 2 = -4a + 2$

$-4a + 2 = -6$ より、$-4a = -8$ なので、$a = 2$

3. 最終的な答え

パート1

頂点: $(6, 1)$

軸: $x = 6$

$x = 2$ で最大値 $5$

$x = 6$ で最小値 $1$

パート2

(1) $a = 1$

(2) $a = 2$