与えられた二つの連立一次方程式について、掃き出し法を用いて解が存在するかどうか判定し、解が存在する場合はその解を求める。連立方程式は以下の通りです。 (5): $ \begin{cases} x_1 + 2x_2 + x_3 = -1 \\ 10x_1 - x_2 + 13x_3 = 4 \\ 8x_1 + 2x_2 + 10x_3 = 2 \end{cases} $ (6): $ \begin{cases} 4x_1 + 7x_2 + 11x_3 = 10 \\ x_1 + 3x_2 + 4x_3 = 5 \\ -x_1 - 8x_2 - 9x_3 = -15 \end{cases} $

はい、承知いたしました。与えられた連立一次方程式について、掃き出し法を用いて解が存在するかどうかを判定し、解が存在する場合はその解を求めます。

1. 問題の内容

与えられた二つの連立一次方程式について、掃き出し法を用いて解が存在するかどうか判定し、解が存在する場合はその解を求める。連立方程式は以下の通りです。

(5):

$$

\begin{cases}

x_1 + 2x_2 + x_3 = -1 \\

10x_1 - x_2 + 13x_3 = 4 \\

8x_1 + 2x_2 + 10x_3 = 2

\end{cases}

$$

(6):

$$

\begin{cases}

4x_1 + 7x_2 + 11x_3 = 10 \\

x_1 + 3x_2 + 4x_3 = 5 \\

-x_1 - 8x_2 - 9x_3 = -15

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

まず、(5)の連立一次方程式から解を求めます。拡大係数行列を作り、掃き出し法を行います。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 2 & 1 & -1 \\

10 & -1 & 13 & 4 \\

8 & 2 & 10 & 2

\end{bmatrix}

$$

2行目から1行目の10倍を引き、3行目から1行目の8倍を引きます。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 2 & 1 & -1 \\

0 & -21 & 3 & 14 \\

0 & -14 & 2 & 10

\end{bmatrix}

$$

2行目を-21で割り、3行目を-14で割ります。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 2 & 1 & -1 \\

0 & 1 & -1/7 & -2/3 \\

0 & 1 & -1/7 & -5/7

\end{bmatrix}

$$

3行目から2行目を引きます。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 2 & 1 & -1 \\

0 & 1 & -1/7 & -2/3 \\

0 & 0 & 0 & -11/21

\end{bmatrix}

$$

最後の行が $0 = -11/21$ となり矛盾するため、(5)の連立一次方程式は解を持ちません。

次に、(6)の連立一次方程式から解を求めます。拡大係数行列を作り、掃き出し法を行います。

$$

\begin{bmatrix}

4 & 7 & 11 & 10 \\

1 & 3 & 4 & 5 \\

-1 & -8 & -9 & -15

\end{bmatrix}

$$

1行目と2行目を入れ替えます。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 3 & 4 & 5 \\

4 & 7 & 11 & 10 \\

-1 & -8 & -9 & -15

\end{bmatrix}

$$

2行目から1行目の4倍を引き、3行目に1行目を足します。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 3 & 4 & 5 \\

0 & -5 & -5 & -10 \\

0 & -5 & -5 & -10

\end{bmatrix}

$$

2行目を-5で割ります。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 3 & 4 & 5 \\

0 & 1 & 1 & 2 \\

0 & -5 & -5 & -10

\end{bmatrix}

$$

3行目に2行目の5倍を足します。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 3 & 4 & 5 \\

0 & 1 & 1 & 2 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}

$$

1行目から2行目の3倍を引きます。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & 1 & -1 \\

0 & 1 & 1 & 2 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}

$$

この結果より、$x_1 + x_3 = -1$ と $x_2 + x_3 = 2$ が得られます。

$x_3 = t$ とおくと、$x_1 = -1 - t$、$x_2 = 2 - t$ となります。

3. 最終的な答え

(5)の連立一次方程式は解を持たない。

(6)の連立一次方程式は解を持ち、$x_1 = -1 - t$, $x_2 = 2 - t$, $x_3 = t$ (tは任意の実数)。