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与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} a & a & b & b \\ a & b & a & b \\ a & b & b & a \\ b & a & b & a \end{vmatrix}$

代数学行列式線形代数行列の計算
2025/7/12

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。
$\begin{vmatrix}
a & a & b & b \\
a & b & a & b \\
a & b & b & a \\
b & a & b & a
\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

この行列式を計算するために、まず行と列の基本変形を用いて行列を簡略化します。
ステップ1: 第1行を全ての行から引きます。
$\begin{vmatrix}
a & a & b & b \\
0 & b-a & a-b & 0 \\
0 & b-a & b-a & a-b \\
b-a & a-a & b-b & a-b
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
a & a & b & b \\
0 & b-a & a-b & 0 \\
0 & b-a & b-a & a-b \\
b-a & 0 & 0 & a-b
\end{vmatrix}$
ステップ2: 第1列で展開します。
$\begin{vmatrix}
a & a & b & b \\
0 & b-a & a-b & 0 \\
0 & b-a & b-a & a-b \\
b-a & 0 & 0 & a-b
\end{vmatrix}
=a
\begin{vmatrix}
b-a & a-b & 0 \\
b-a & b-a & a-b \\
0 & 0 & a-b
\end{vmatrix}
-(b-a)
\begin{vmatrix}
a & b & b \\
b-a & a-b & 0 \\
b-a & b-a & a-b
\end{vmatrix}$
ステップ3: 3x3行列式を計算します。
まず、最初の3x3行列式を計算します。
(b−a)(b−a)(a−b)+(a−b)(b−a)(0)+0−0−(a−b)(b−a)(a−b)−0=(b−a)2(a−b)−(a−b)2(b−a)=(b−a)2(a−b)+(a−b)2(a−b)=(a−b)((b−a)2+(a−b)2)=(a−b)(2(a−b)2)=2(a−b)3(b-a)(b-a)(a-b) + (a-b)(b-a)(0) + 0 - 0 - (a-b)(b-a)(a-b) - 0 = (b-a)^2(a-b) - (a-b)^2(b-a) = (b-a)^2(a-b) + (a-b)^2(a-b) = (a-b)( (b-a)^2 + (a-b)^2) = (a-b)(2(a-b)^2) = 2(a-b)^3
次に、2番目の3x3行列式を計算します。
a(a−b)(a−b)+b(0)(b−a)+b(b−a)(b−a)−b(a−b)(b−a)−a(0)(b−a)−b(a−b)(b−a)=a(a−b)2+b(b−a)2−2b(a−b)(b−a)=a(a−b)2+b(b−a)2+2b(a−b)2=a(a−b)2+3b(a−b)2=(a+3b)(a−b)2a(a-b)(a-b) + b(0)(b-a) + b(b-a)(b-a) - b(a-b)(b-a) - a(0)(b-a) - b(a-b)(b-a) = a(a-b)^2 + b(b-a)^2 - 2b(a-b)(b-a) = a(a-b)^2 + b(b-a)^2 + 2b(a-b)^2 = a(a-b)^2 + 3b(a-b)^2 = (a+3b)(a-b)^2
ステップ4: 結果をまとめます。
a[2(a−b)3]−(b−a)[(a+3b)(a−b)2]=2a(a−b)3+(a−b)(a+3b)(a−b)2=(a−b)3(2a+a+3b)=(a−b)3(3a+3b)=3(a−b)3(a+b)=3(a−b)2(a2−b2)=3(a2−2ab+b2)(a2−b2)=3(a4−2a3b+a2b2−a2b2+2ab3−b4)=3(a4−2a3b+2ab3−b4)a [ 2(a-b)^3] - (b-a)[ (a+3b)(a-b)^2 ] = 2a(a-b)^3 + (a-b)(a+3b)(a-b)^2 = (a-b)^3(2a+a+3b) = (a-b)^3(3a+3b) = 3(a-b)^3(a+b) = 3(a-b)^2(a^2-b^2) = 3(a^2 - 2ab + b^2)(a^2-b^2) = 3(a^4 -2a^3b + a^2b^2 - a^2b^2 + 2ab^3 - b^4) = 3(a^4 - 2a^3b + 2ab^3 - b^4)
別の解法:
行列式の定義から計算すると複雑になるので、行列の性質を利用します。
C1→C1+C2+C3+C4C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3 + C_4
$\begin{vmatrix}
2a+2b & a & b & b \\
2a+2b & b & a & b \\
2a+2b & b & b & a \\
2a+2b & a & b & a
\end{vmatrix} = (2a+2b)\begin{vmatrix}
1 & a & b & b \\
1 & b & a & b \\
1 & b & b & a \\
1 & a & b & a
\end{vmatrix}$
R2→R2−R1,R3→R3−R1,R4→R4−R1R_2 \rightarrow R_2 - R_1, R_3 \rightarrow R_3 - R_1, R_4 \rightarrow R_4 - R_1
$(2a+2b)\begin{vmatrix}
1 & a & b & b \\
0 & b-a & a-b & 0 \\
0 & b-a & 0 & a-b \\
0 & 0 & 0 & a-b
\end{vmatrix} = 2(a+b)\begin{vmatrix}
b-a & a-b & 0 \\
b-a & 0 & a-b \\
0 & 0 & a-b
\end{vmatrix} = 2(a+b)(a-b)\begin{vmatrix}
b-a & a-b \\
b-a & 0
\end{vmatrix}= 2(a+b)(a-b)[0 - (a-b)(b-a)] = 2(a+b)(a-b)[(a-b)^2] = 2(a+b)(a-b)^3 = 2(a+b)(a-b)^3 $
=2(a+b)(a3−3a2b+3ab2−b3)=2(a4−3a3b+3a2b2−ab3+a3b−3a2b2+3ab3−b4)=2(a4−2a3b+2ab3−b4)= 2(a+b)(a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3) = 2(a^4-3a^3b+3a^2b^2-ab^3 + a^3b - 3a^2b^2 + 3ab^3 - b^4)= 2(a^4 -2a^3b + 2ab^3 -b^4)

3. 最終的な答え

2(a+b)(a−b)3=2(a+b)(a−b)3=2(a4−2a3b+2ab3−b4)2(a+b)(a-b)^3 = 2(a+b)(a-b)^3 = 2(a^4 - 2a^3b + 2ab^3 - b^4)
2(a4−2a3b+2ab3−b4)2(a^4 - 2a^3b + 2ab^3 - b^4)

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