3. 等式の変形 (1) $2a - 7 = b$ を $a$ について解く。 (2) $4x + 16y - 36 = 0$ を $x$ について解く。 (3) $V = \frac{1}{3} \pi h r^2$ を $h$ について解く。 (4) $3(2x + y) = 11x + z$ を $y$ について解く。 4. 文字式の利用 (1) 底辺が $a$、高さが $b$ の三角形 A の面積は、底辺が $3a$、高さが $2b$ の三角形 B の面積の何倍か。 (2) 底面が1辺の長さ $2x$ の正方形で、高さが底面の1辺の長さの $\frac{5}{2}$ 倍である直方体と、1辺の長さが $x$ の立方体がある。直方体の体積は、立方体の体積の何倍か。 5. 文字式による証明 (1) 2, 4, 6 のように、連続する 3 つの偶数において、真ん中の数を 7 倍した数から最も小さい数と最も大きい数の和を 2 倍した数を引いた差は、6 の倍数になることを証明する。 (2) 3, 4, 5, 6 のように、連続する 4 つの整数の和は、最も小さい整数と最も大きい整数の和の 2 倍に等しくなることを証明する。

1. 問題の内容

3. 等式の変形

(1) $2a - 7 = b$ を $a$ について解く。

(2) $4x + 16y - 36 = 0$ を $x$ について解く。

(3) $V = \frac{1}{3} \pi h r^2$ を $h$ について解く。

(4) $3(2x + y) = 11x + z$ を $y$ について解く。

4. 文字式の利用

(1) 底辺が $a$、高さが $b$ の三角形 A の面積は、底辺が $3a$、高さが $2b$ の三角形 B の面積の何倍か。

(2) 底面が1辺の長さ $2x$ の正方形で、高さが底面の1辺の長さの $\frac{5}{2}$ 倍である直方体と、1辺の長さが $x$ の立方体がある。直方体の体積は、立方体の体積の何倍か。

5. 文字式による証明

(1) 2, 4, 6 のように、連続する 3 つの偶数において、真ん中の数を 7 倍した数から最も小さい数と最も大きい数の和を 2 倍した数を引いた差は、6 の倍数になることを証明する。

(2) 3, 4, 5, 6 のように、連続する 4 つの整数の和は、最も小さい整数と最も大きい整数の和の 2 倍に等しくなることを証明する。

2. 解き方の手順

3. 等式の変形

(1) $2a - 7 = b$

$2a = b + 7$

$a = \frac{b + 7}{2}$

(2) $4x + 16y - 36 = 0$

$4x = -16y + 36$

$x = -4y + 9$

(3) $V = \frac{1}{3} \pi h r^2$

$3V = \pi h r^2$

$h = \frac{3V}{\pi r^2}$

(4) $3(2x + y) = 11x + z$

$6x + 3y = 11x + z$

$3y = 5x + z$

$y = \frac{5x + z}{3}$

4. 文字式の利用

(1) 三角形 A の面積は $\frac{1}{2} a b$。

三角形 B の面積は $\frac{1}{2} (3a) (2b) = 3ab$。

$\frac{3ab}{\frac{1}{2}ab} = 6$ より、6 倍。

(2) 直方体の底面積は $(2x)^2 = 4x^2$。

直方体の高さは $2x \cdot \frac{5}{2} = 5x$。

直方体の体積は $4x^2 \cdot 5x = 20x^3$。

立方体の体積は $x^3$。

$\frac{20x^3}{x^3} = 20$ より、20 倍。

5. 文字式による証明

(1) 連続する3つの偶数を $2n$, $2n+2$, $2n+4$ とする。

真ん中の数を7倍した数は $7(2n+2) = 14n + 14$。

最も小さい数と最も大きい数の和を2倍した数は $2(2n + 2n+4) = 2(4n+4) = 8n + 8$。

差は $(14n + 14) - (8n + 8) = 6n + 6 = 6(n+1)$。

$n+1$ は整数なので、$6(n+1)$ は 6 の倍数である。

(2) 連続する4つの整数を $n$, $n+1$, $n+2$, $n+3$ とする。

和は $n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6$。

最も小さい整数と最も大きい整数の和の2倍は $2(n + (n+3)) = 2(2n+3) = 4n + 6$。

したがって、連続する4つの整数の和は、最も小さい整数と最も大きい整数の和の2倍に等しい。

3. 最終的な答え

4. 等式の変形

(1) $a = \frac{b + 7}{2}$

(2) $x = -4y + 9$

(3) $h = \frac{3V}{\pi r^2}$

(4) $y = \frac{5x + z}{3}$

5. 文字式の利用

(1) 6 倍

(2) 20 倍

6. 文字式による証明

(1) 証明完了

(2) 証明完了