関数 $f(x) = x^2 - 7x + 5$ の $0 \le x \le a$ における最大値 $M$ と最小値 $m$ を、$a$ の値によって場合分けして求める問題です。具体的には、(i) $0 < a < \text{ア}$、(ii) $\text{ア} \le a \le \text{イ}$、(iii) $a > \text{イ}$ の3つの場合に分けて、$M$ と $m$ を求めます。また、空欄 $\text{ア}$ と $\text{イ}$ に適切な値を求める必要があります。
2025/7/12
1. 問題の内容
関数 の における最大値 と最小値 を、 の値によって場合分けして求める問題です。具体的には、(i) 、(ii) 、(iii) の3つの場合に分けて、 と を求めます。また、空欄 と に適切な値を求める必要があります。
2. 解き方の手順
まず、関数 を平方完成します。
したがって、放物線の頂点は であり、 で最小値 をとります。
また、 です。
(i) のとき
区間 で、 は に近づくほど小さくなります。
したがって、 で最小値 をとります。
また、最大値は で となります。
(ii) のとき
区間 において、最小値は頂点の 座標 でとります。
したがって、 です。
最大値は、 と のどちらか大きい方になります。
であるので、 のとき、 となります。
したがって、 となるのは、 のときです。
(ii-a) のとき
であり、 です。
(ii-b) のとき
であり、 です。
問題の指示より、場合分けは3つなので、(i) 、(ii) 、(iii) とすれば良いでしょう。
したがって、、 となります。
(i) のとき、
,
(ii) のとき、
,
(iii) のとき、
,
3. 最終的な答え
(i) のとき、,
(ii) のとき、,
(iii) のとき、,