関数 $f(x) = x^2 - 7x + 5$ の $0 \le x \le a$ における最大値 $M$ と最小値 $m$ を、$a$ の値によって場合分けして求める問題です。具体的には、(i) $0 < a < \text{ア}$、(ii) $\text{ア} \le a \le \text{イ}$、(iii) $a > \text{イ}$ の3つの場合に分けて、$M$ と $m$ を求めます。また、空欄 $\text{ア}$ と $\text{イ}$ に適切な値を求める必要があります。

代数学二次関数最大値最小値場合分け平方完成
2025/7/12

1. 問題の内容

関数 f(x)=x27x+5f(x) = x^2 - 7x + 50xa0 \le x \le a における最大値 MM と最小値 mm を、aa の値によって場合分けして求める問題です。具体的には、(i) 0<a<0 < a < \text{ア}、(ii) a\text{ア} \le a \le \text{イ}、(iii) a>a > \text{イ} の3つの場合に分けて、MMmm を求めます。また、空欄 \text{ア}\text{イ} に適切な値を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、関数 f(x)f(x) を平方完成します。
f(x)=x27x+5=(x72)2(72)2+5=(x72)2494+204=(x72)2294f(x) = x^2 - 7x + 5 = (x - \frac{7}{2})^2 - (\frac{7}{2})^2 + 5 = (x - \frac{7}{2})^2 - \frac{49}{4} + \frac{20}{4} = (x - \frac{7}{2})^2 - \frac{29}{4}
したがって、放物線の頂点は (72,294)(\frac{7}{2}, -\frac{29}{4}) であり、x=72=3.5x = \frac{7}{2} = 3.5 で最小値 294-\frac{29}{4} をとります。
また、f(0)=5f(0) = 5 です。
(i) 0<a<720 < a < \frac{7}{2} のとき
区間 [0,a][0, a] で、f(x)f(x)x=72x = \frac{7}{2} に近づくほど小さくなります。
したがって、x=ax = a で最小値 m=f(a)=a27a+5m = f(a) = a^2 - 7a + 5 をとります。
また、最大値は x=0x = 0M=f(0)=5M = f(0) = 5 となります。
(ii) 72a\frac{7}{2} \le a のとき
区間 [0,a][0, a] において、最小値は頂点の xx 座標 x=72x = \frac{7}{2} でとります。
したがって、m=f(72)=294m = f(\frac{7}{2}) = -\frac{29}{4} です。
最大値は、f(0)=5f(0) = 5f(a)=a27a+5f(a) = a^2 - 7a + 5 のどちらか大きい方になります。
f(a)f(0)=a27a+55=a27a=a(a7)f(a) - f(0) = a^2 - 7a + 5 - 5 = a^2 - 7a = a(a - 7)
a72a \ge \frac{7}{2} であるので、a=7a = 7 のとき、f(7)=4949+5=5=f(0)f(7) = 49 - 49 + 5 = 5 = f(0) となります。
したがって、f(a)>f(0)f(a) > f(0) となるのは、a>7a > 7 のときです。
(ii-a) 72a7\frac{7}{2} \le a \le 7 のとき
M=f(0)=5M = f(0) = 5 であり、m=f(72)=294m = f(\frac{7}{2}) = -\frac{29}{4} です。
(ii-b) a>7a > 7 のとき
M=f(a)=a27a+5M = f(a) = a^2 - 7a + 5 であり、m=f(72)=294m = f(\frac{7}{2}) = -\frac{29}{4} です。
問題の指示より、場合分けは3つなので、(i) 0<a<720 < a < \frac{7}{2}、(ii) 72a7\frac{7}{2} \le a \le 7、(iii) a>7a > 7 とすれば良いでしょう。
したがって、=72\text{ア} = \frac{7}{2}=7\text{イ} = 7 となります。
(i) 0<a<720 < a < \frac{7}{2} のとき、
M=5M = 5, m=a27a+5m = a^2 - 7a + 5
(ii) 72a7\frac{7}{2} \le a \le 7 のとき、
M=5M = 5, m=294m = -\frac{29}{4}
(iii) a>7a > 7 のとき、
M=a27a+5M = a^2 - 7a + 5, m=294m = -\frac{29}{4}

3. 最終的な答え

=72\text{ア} = \frac{7}{2}
=7\text{イ} = 7
(i) 0<a<720 < a < \frac{7}{2} のとき、M=5M = 5, m=a27a+5m = a^2 - 7a + 5
(ii) 72a7\frac{7}{2} \le a \le 7 のとき、M=5M = 5, m=294m = -\frac{29}{4}
(iii) a>7a > 7 のとき、M=a27a+5M = a^2 - 7a + 5, m=294m = -\frac{29}{4}

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