与えられた複素数の分数を、分母を実数化することで簡単にしてください。問題は、$\frac{3 + \sqrt{2}i}{3 - \sqrt{2}i}$ を計算することです。

1. 問題の内容

与えられた複素数の分数を、分母を実数化することで簡単にしてください。問題は、$\frac{3 + \sqrt{2}i}{3 - \sqrt{2}i}$ を計算することです。

2. 解き方の手順

分母を実数化するために、分母の共役複素数である $3 + \sqrt{2}i$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{3 + \sqrt{2}i}{3 - \sqrt{2}i} \cdot \frac{3 + \sqrt{2}i}{3 + \sqrt{2}i}$

分子を計算します。

$(3 + \sqrt{2}i)(3 + \sqrt{2}i) = 3(3) + 3(\sqrt{2}i) + \sqrt{2}i(3) + (\sqrt{2}i)(\sqrt{2}i) = 9 + 3\sqrt{2}i + 3\sqrt{2}i + 2i^2$

$i^2 = -1$ なので、

$9 + 6\sqrt{2}i - 2 = 7 + 6\sqrt{2}i$

分母を計算します。

$(3 - \sqrt{2}i)(3 + \sqrt{2}i) = 3(3) + 3(\sqrt{2}i) - \sqrt{2}i(3) - (\sqrt{2}i)(\sqrt{2}i) = 9 + 3\sqrt{2}i - 3\sqrt{2}i - 2i^2$

$i^2 = -1$ なので、

$9 + 2 = 11$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{7 + 6\sqrt{2}i}{11} = \frac{7}{11} + \frac{6\sqrt{2}}{11}i$

3. 最終的な答え

$\frac{7}{11} + \frac{6\sqrt{2}}{11}i$