$a$ は定数とする。関数 $y = 2x^2 - 4ax - a$ ($0 \le x \le 2$) の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は定数とする。関数 $y = 2x^2 - 4ax - a$ ($0 \le x \le 2$) の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 - 4ax - a = 2(x^2 - 2ax) - a = 2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) - a = 2(x - a)^2 - 2a^2 - a$

よって、この二次関数の軸は $x = a$ です。定義域は $0 \le x \le 2$ です。最大値を求めるために、軸の位置によって場合分けを行います。

(i) $a < 0$ のとき：

定義域 $0 \le x \le 2$ において、関数は単調増加であるため、$x = 2$ で最大値をとります。

$y = 2(2)^2 - 4a(2) - a = 8 - 8a - a = 8 - 9a$

(ii) $0 \le a \le 2$ のとき：

軸が定義域内にあるので、定義域の端点である $x = 0$ または $x = 2$ で最大値をとります。

$x = 0$ のとき $y = -a$

$x = 2$ のとき $y = 8 - 9a$

$x=0$と$x=2$での値を比較します。

$-a \ge 8 - 9a$ ならば $8a \ge 8$ すなわち $a \ge 1$

$-a < 8 - 9a$ ならば $8a < 8$ すなわち $a < 1$

(a) $0 \le a < 1$ のとき、最大値は $8 - 9a$ ($x = 2$のとき)。

(b) $1 \le a \le 2$ のとき、最大値は $-a$ ($x = 0$のとき)。

(iii) $a > 2$ のとき：

定義域 $0 \le x \le 2$ において、関数は単調減少であるため、$x = 0$ で最大値をとります。

$y = 2(0)^2 - 4a(0) - a = -a$

以上をまとめると、

(i) $a < 0$ のとき、最大値は $8 - 9a$

(ii) $0 \le a < 1$ のとき、最大値は $8 - 9a$

(iii) $1 \le a \le 2$ のとき、最大値は $-a$

(iv) $a > 2$ のとき、最大値は $-a$

3. 最終的な答え

$a < 1$ のとき、最大値は $8 - 9a$

$a \ge 1$ のとき、最大値は $-a$

言い換えると、

$a < 1$ のとき、最大値は $8 - 9a$ ($x = 2$ のとき)

$a \ge 1$ のとき、最大値は $-a$ ($x = 0$ のとき)