線形代数の問題で、行列の計算、行列のべき乗、行列を用いた方程式を解く問題です。具体的には以下の問題があります。 (1) $\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}^2$ を計算する。 (2) $\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ を計算する。 (3) (2)の結果の行列の6乗を計算する。 (4) $A = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ のとき、$A^2 - 2E_2$ (ただし、$E_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$)を計算する。 (5) (4)のAに対して、$A^n$を計算する。 (6) $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^n$ を計算する。 (7) $\begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & -4 & -7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ を解く。 (8) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -4 \\ 2 & 3 & 0 & -5 \\ 2 & 1 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ を解く。

1. 問題の内容

線形代数の問題で、行列の計算、行列のべき乗、行列を用いた方程式を解く問題です。具体的には以下の問題があります。

(1) $\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}^2$ を計算する。

(2) $\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ を計算する。

(3) (2)の結果の行列の6乗を計算する。

(4) $A = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ のとき、$A^2 - 2E_2$ (ただし、$E_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$)を計算する。

(5) (4)のAに対して、$A^n$を計算する。

(6) $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^n$ を計算する。

(7) $\begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & -4 & -7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ を解く。

(8) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -4 \\ 2 & 3 & 0 & -5 \\ 2 & 1 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ を解く。

2. 解き方の手順

(1) 行列の積を計算します。

$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

(2) 行列の積を計算します。

$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} & \frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \\ \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} & \frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

(3) (2)の結果の行列を$B$とすると、$B^6$を計算します。$B = \begin{pmatrix} \frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} & \frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \\ \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} & \frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \end{pmatrix}$について、$B^2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$となります。したがって、$B^6 = (B^2)^3 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^3 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^2\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

(4) $A^2 = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

$A^2 - 2E_2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

(5) (4)の結果より、$A^2 = 2E_2 = 2I$ ($I$は単位行列)。 よって、$A^n = A^{n-2}A^2 = A^{n-2}2I= 2A^{n-2}$となる。

$n$が偶数のとき、$A^n = (A^2)^{n/2} = (2I)^{n/2} = 2^{n/2}I = \begin{pmatrix} 2^{n/2} & 0 \\ 0 & 2^{n/2} \end{pmatrix}$

$n$が奇数のとき、$A^n = A^{n-1} A = 2^{(n-1)/2} A = \begin{pmatrix} -2 \cdot 2^{(n-1)/2} & -2^{(n-1)/2} \\ 2 \cdot 2^{(n-1)/2} & 2 \cdot 2^{(n-1)/2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2^{(n+1)/2} & -2^{(n-1)/2} \\ 2^{(n+1)/2} & 2^{(n+1)/2} \end{pmatrix}$

(6) $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$とすると、与えられた行列は$E_3 + B$と表せる。

$B^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$、 $B^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$(E_3 + B)^n = E_3 + nB + \frac{n(n-1)}{2}B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + n\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \frac{n(n-1)}{2} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & n & \frac{n(n-1)}{2} \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(7) $\begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & -4 & -7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$を解く。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & -4 & -7 \end{pmatrix}$の行列式は$1(3\times(-7)-4\times(-4)) - (-2)(2\times(-7) - 4\times3) + (-3)(2\times(-4) - 3\times3) = 1(-21+16) + 2(-14-12) - 3(-8-9) = -5 - 52 + 51 = -6$なので、逆行列が存在するので、$x=y=z=0$

(8) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -4 \\ 2 & 3 & 0 & -5 \\ 2 & 1 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$を解く。

掃き出し法で解く。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -4 \\ 2 & 3 & 0 & -5 \\ 2 & 1 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & -3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -4 \\ 0 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & 6 & 10 \\ 0 & -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -4 \\ 0 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -4 \\ 0 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$x_4 = 0$

$-x_2 + 2x_3 + 3x_4 = 0 \implies x_2 = 2x_3$

$x_1 + 2x_2 - x_3 - 4x_4 = 0 \implies x_1 = -2x_2 + x_3 = -4x_3 + x_3 = -3x_3$

解は$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = x_3 \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} \frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} & \frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \\ \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} & \frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

(5) $n$が偶数のとき、$A^n = \begin{pmatrix} 2^{n/2} & 0 \\ 0 & 2^{n/2} \end{pmatrix}$

$n$が奇数のとき、$A^n = \begin{pmatrix} -2^{(n+1)/2} & -2^{(n-1)/2} \\ 2^{(n+1)/2} & 2^{(n+1)/2} \end{pmatrix}$

(6) $\begin{pmatrix} 1 & n & \frac{n(n-1)}{2} \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(7) $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

(8) $x_3 \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$