複素数 $x+yi$ の2乗が $7+24i$ に等しいとき、$x$と$y$の値を求めます。つまり、$(x+yi)^2 = 7+24i$ を満たす実数 $x, y$ を求めます。

1. 問題の内容

複素数 $x+yi$ の2乗が $7+24i$ に等しいとき、$x$と$y$の値を求めます。つまり、$(x+yi)^2 = 7+24i$ を満たす実数 $x, y$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$(x+yi)^2$ を展開します。

$(x+yi)^2 = x^2 + 2xyi + (yi)^2 = x^2 + 2xyi - y^2 = (x^2 - y^2) + 2xyi$

この式が $7+24i$ に等しいので、実部と虚部を比較します。

$x^2 - y^2 = 7$

$2xy = 24$

2番目の式から、$xy = 12$ となります。したがって、$y = \frac{12}{x}$ となります。これを1番目の式に代入します。

$x^2 - (\frac{12}{x})^2 = 7$

$x^2 - \frac{144}{x^2} = 7$

両辺に $x^2$ をかけます。

$x^4 - 144 = 7x^2$

$x^4 - 7x^2 - 144 = 0$

$u = x^2$ とおくと、これは $u$ に関する二次方程式になります。

$u^2 - 7u - 144 = 0$

これを解の公式で解きます。

$u = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(1)(-144)}}{2(1)} = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 576}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{625}}{2} = \frac{7 \pm 25}{2}$

したがって、$u = \frac{7+25}{2} = \frac{32}{2} = 16$ または $u = \frac{7-25}{2} = \frac{-18}{2} = -9$ となります。

$u = x^2$ なので、$x^2 = 16$ または $x^2 = -9$ となります。$x$ は実数なので、$x^2 = 16$ である必要があります。したがって、$x = \pm 4$ です。

$x = 4$ のとき、$y = \frac{12}{4} = 3$ です。

$x = -4$ のとき、$y = \frac{12}{-4} = -3$ です。

したがって、解は $(x, y) = (4, 3)$ または $(x, y) = (-4, -3)$ となります。

3. 最終的な答え

$(x, y) = (4, 3), (-4, -3)$