与えられた式 $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

与式を展開し、整理することで因数分解を行う。

まず、$(a+b)(b+c)$ を展開する。

$(a+b)(b+c) = ab + ac + b^2 + bc$

次に、この結果と $(c+a)$ を掛ける。

$(ab + ac + b^2 + bc)(c+a) = abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc$

$= a^2b + a^2c + ab^2 + 2abc + ac^2 + b^2c + bc^2$

したがって、与式は

$a^2b + a^2c + ab^2 + 2abc + ac^2 + b^2c + bc^2 + abc = a^2b + a^2c + ab^2 + 3abc + ac^2 + b^2c + bc^2$

これを整理する。$a$ について降べきの順に並べると、

$a^2(b+c) + a(b^2 + 3bc + c^2) + bc(b+c)$

$= a^2(b+c) + a(b^2 + bc + 2bc + c^2) + bc(b+c)$

$= a^2(b+c) + a(b(b+c) + c(2b+c)) + bc(b+c)$

さらに式を整理することを考える。

$a^2(b+c) + a(b^2 + 3bc + c^2) + bc(b+c)$

$= (b+c)a^2 + (b^2+c^2+3bc)a + bc(b+c)$

$= (b+c)(a^2 + bc) + (b^2+c^2+bc)a + bc(b+c)$

$= (a+b)(b+c)(c+a) + abc$

$a^2b + a^2c + ab^2 + 2abc + ac^2 + b^2c + bc^2 + abc$

$= a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc$

$= a^2(b+c) + a(b^2 + 3bc + c^2) + bc(b+c)$

$= a^2(b+c) + a(b^2 + bc + c^2 + 2bc) + bc(b+c)$

$= (b+c) a^2 + (b^2 + c^2 + bc + 2bc) a + (b+c)bc$

$= (a+b)(a+c)(b+c) + abc = (a+b)(a+c)(b+c)$

$(a+b)(b+c)(a+c) = (ab+ac+b^2+bc)(c+a) = abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc$

$= a^2b + a^2c + b^2c + c^2b + c^2a + b^2a + 2abc$

$a^2(b+c)+ a(b^2 + c^2 +3bc) + bc(b+c) = (a+b)(a+c)(b+c)$

$(a+b)(b+c)(a+c) = (a+b)(ab+c^2+bc+ac)= a^2b+ac^2+abc+a^2c + ab^2+bc^2+b^2c +abc = a^2b+ac^2+a^2c+ ab^2+bc^2+b^2c +2abc = a^2b+a^2c+ab^2+2abc + ac^2+b^2c +bc^2$

したがって、$(a+b)(b+c)(c+a) + abc$ の因数分解は、$(a+b)(b+c)(a+c)$　となる。

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$