問題は2つあります。 (2) は、2つの行列の積を計算する問題です。 (3) は、(2)で求めた行列の6乗を計算する問題です。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(2) は、2つの行列の積を計算する問題です。

(3) は、(2)で求めた行列の6乗を計算する問題です。

2. 解き方の手順

(2)

行列 $A = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$ と行列 $B = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ の積 $AB$ を計算します。

$AB = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

$AB = \begin{pmatrix} \frac{1}{2\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} & -\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{2\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

$AB = \begin{pmatrix} \frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} & \frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \\ \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

(3)

(2)の結果の行列を$C$とします。$C=AB$

$C = \begin{pmatrix} \frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} & \frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \\ \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

$C^6$を計算します。

行列 $A$ は、原点中心に $-45^\circ$ 回転させる行列です。

行列 $B$ は、原点中心に $60^\circ$ 回転させる行列です。

したがって、$C=AB$ は、原点中心に $60^\circ - 45^\circ = 15^\circ$ 回転させる行列です。

$C^6$ は、原点中心に $6 \times 15^\circ = 90^\circ$ 回転させる行列になります。

したがって、$C^6 = \begin{pmatrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(2) $\begin{pmatrix} \frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} & \frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \\ \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$