複素数の等式 $\frac{x+yi}{2+3i} = \frac{5}{13} - \frac{1}{13}i$ を満たす実数 $x$ と $y$ を求めます。

1. 問題の内容

複素数の等式 $\frac{x+yi}{2+3i} = \frac{5}{13} - \frac{1}{13}i$ を満たす実数 $x$ と $y$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた等式の両辺に $2+3i$ を掛けます。

$x+yi = (2+3i)(\frac{5}{13} - \frac{1}{13}i)$

次に、右辺を展開します。

$x+yi = 2(\frac{5}{13} - \frac{1}{13}i) + 3i(\frac{5}{13} - \frac{1}{13}i)$

$x+yi = \frac{10}{13} - \frac{2}{13}i + \frac{15}{13}i - \frac{3}{13}i^2$

ここで、$i^2 = -1$ であることに注意すると、

$x+yi = \frac{10}{13} - \frac{2}{13}i + \frac{15}{13}i + \frac{3}{13}$

$x+yi = (\frac{10}{13} + \frac{3}{13}) + (-\frac{2}{13} + \frac{15}{13})i$

$x+yi = \frac{13}{13} + \frac{13}{13}i$

$x+yi = 1 + i$

したがって、$x$ と $y$ はそれぞれ実部と虚部なので、$x=1$、$y=1$。

3. 最終的な答え

$x=1$, $y=1$