頂点が $(1, 3)$ で、点 $(2, 5)$ を通る放物線の方程式を求めよ。求める方程式は $y = a x^2 - bx + c$ の形である。

1. 問題の内容

頂点が $(1, 3)$ で、点 $(2, 5)$ を通る放物線の方程式を求めよ。求める方程式は $y = a x^2 - bx + c$ の形である。

2. 解き方の手順

放物線の頂点が $(1, 3)$ であることから、放物線の方程式は $y = a(x - 1)^2 + 3$ と表せる。

次に、この放物線が点 $(2, 5)$ を通ることから、$x = 2$, $y = 5$ を代入して $a$ の値を求める。

$5 = a(2 - 1)^2 + 3$

$5 = a(1)^2 + 3$

$5 = a + 3$

$a = 2$

したがって、放物線の方程式は $y = 2(x - 1)^2 + 3$ となる。

これを展開して $y = a x^2 - bx + c$ の形にする。

$y = 2(x^2 - 2x + 1) + 3$

$y = 2x^2 - 4x + 2 + 3$

$y = 2x^2 - 4x + 5$

3. 最終的な答え

$y = 2x^2 - 4x + 5$