方程式 $x^3 = 1$ の虚数解の一つを $\omega$ とするとき、$\frac{\omega^{2025} + 1}{\omega^2 + \omega}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

方程式 $x^3 = 1$ の虚数解の一つを $\omega$ とするとき、$\frac{\omega^{2025} + 1}{\omega^2 + \omega}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^3 = 1$ を変形すると $x^3 - 1 = 0$ となり、因数分解すると $(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0$ となる。

$\omega$ は $x^3 = 1$ の虚数解なので、$\omega^3 = 1$ が成り立つ。また、$\omega$ は $x^2 + x + 1 = 0$ の解でもあるので、

$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ が成り立つ。

この式を変形すると $\omega^2 + \omega = -1$ となる。

次に、$\omega^{2025}$ を計算する。$\omega^3 = 1$ より、$\omega^{2025} = (\omega^3)^{675} = 1^{675} = 1$ となる。

したがって、$\frac{\omega^{2025} + 1}{\omega^2 + \omega} = \frac{1 + 1}{-1} = \frac{2}{-1} = -2$ となる。

3. 最終的な答え

-2