複素数平面上に異なる3点O(0), A($\alpha$), B($\beta$)がある。$\alpha^2 - 2\alpha\beta + 2\beta^2 = 0$ が成り立つとき、三角形OABはどのような三角形か。

1. 問題の内容

複素数平面上に異なる3点O(0), A($\alpha$), B($\beta$)がある。$\alpha^2 - 2\alpha\beta + 2\beta^2 = 0$ が成り立つとき、三角形OABはどのような三角形か。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を$\alpha$について解きます。

$\alpha^2 - 2\alpha\beta + 2\beta^2 = 0$

解の公式より、

$\alpha = \frac{2\beta \pm \sqrt{(2\beta)^2 - 4(2\beta^2)}}{2} = \frac{2\beta \pm \sqrt{4\beta^2 - 8\beta^2}}{2} = \frac{2\beta \pm \sqrt{-4\beta^2}}{2} = \frac{2\beta \pm 2i\beta}{2} = \beta \pm i\beta$

したがって、

$\alpha = (1+i)\beta$ または $\alpha = (1-i)\beta$

$\alpha = (1+i)\beta$ の場合を考えます。

$\frac{\alpha}{\beta} = 1+i$

$\left| \frac{\alpha}{\beta} \right| = |1+i| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$

$\arg\left(\frac{\alpha}{\beta}\right) = \arg(1+i) = \frac{\pi}{4}$

$\frac{OA}{OB} = \sqrt{2}$

$\angle BOA = \frac{\pi}{4}$

同様に、$\alpha = (1-i)\beta$ の場合を考えます。

$\frac{\alpha}{\beta} = 1-i$

$\left| \frac{\alpha}{\beta} \right| = |1-i| = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$

$\arg\left(\frac{\alpha}{\beta}\right) = \arg(1-i) = -\frac{\pi}{4}$

$\frac{OA}{OB} = \sqrt{2}$

$\angle BOA = -\frac{\pi}{4}$

いずれの場合も、$\frac{OA}{OB} = \sqrt{2}$ であり、$\angle BOA = \pm \frac{\pi}{4}$です。

したがって、三角形OABは $OA = \sqrt{2} OB$ かつ $\angle AOB = 45^\circ$ の直角二等辺三角形です。

3. 最終的な答え

三角形OABは、$\angle AOB = 45^\circ$ かつ $OA = \sqrt{2} OB$ の直角二等辺三角形である。