初項 $a_1 = 2$ であり、漸化式 $a_{n+1} = \frac{n+1}{n} a_n + 1$ で定義される数列 $\{a_n\}$ の第4項 $a_4$ を求めよ。

1. 問題の内容

初項 $a_1 = 2$ であり、漸化式 $a_{n+1} = \frac{n+1}{n} a_n + 1$ で定義される数列 $\{a_n\}$ の第4項 $a_4$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$a_2$を計算します。

漸化式に $n=1$ を代入すると、

$a_2 = \frac{1+1}{1} a_1 + 1 = \frac{2}{1} \cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5$

次に、$a_3$を計算します。

漸化式に $n=2$ を代入すると、

$a_3 = \frac{2+1}{2} a_2 + 1 = \frac{3}{2} \cdot 5 + 1 = \frac{15}{2} + 1 = \frac{15}{2} + \frac{2}{2} = \frac{17}{2}$

最後に、$a_4$を計算します。

漸化式に $n=3$ を代入すると、

$a_4 = \frac{3+1}{3} a_3 + 1 = \frac{4}{3} \cdot \frac{17}{2} + 1 = \frac{4 \cdot 17}{3 \cdot 2} + 1 = \frac{68}{6} + 1 = \frac{34}{3} + 1 = \frac{34}{3} + \frac{3}{3} = \frac{37}{3}$

3. 最終的な答え

$a_4 = \frac{37}{3}$