与えられた数式や条件に基づいて、計算、値の算出、および個数の計算を行います。具体的には、(1)では式の計算、(2)では値の算出、(3)では複素数の計算、(4)では条件を満たす整数の個数を求めます。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順番に解答します。

1. 問題の内容

与えられた数式や条件に基づいて、計算、値の算出、および個数の計算を行います。具体的には、(1)では式の計算、(2)では値の算出、(3)では複素数の計算、(4)では条件を満たす整数の個数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) (i) $(\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{6})(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{6})$ を計算します。

これは $A = \sqrt{2} - \sqrt{6}$ と $B = \sqrt{3}$ とおくと、$(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$ となります。

$A^2 = (\sqrt{2} - \sqrt{6})^2 = 2 - 2\sqrt{12} + 6 = 8 - 4\sqrt{3}$

$B^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$

よって、 $A^2 - B^2 = (8 - 4\sqrt{3}) - 3 = 5 - 4\sqrt{3}$

(1) (ii) $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ を計算します。

分母の有理化を行います。

$\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{5 - 2\sqrt{15} + 3}{5 - 3} = \frac{8 - 2\sqrt{15}}{2} = 4 - \sqrt{15}$

(2) $3^{-5} \div (\frac{1}{9})^2$ を計算します。

$3^{-5} = \frac{1}{3^5} = \frac{1}{243}$

$(\frac{1}{9})^2 = (\frac{1}{3^2})^2 = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}$

$3^{-5} \div (\frac{1}{9})^2 = \frac{1}{243} \div \frac{1}{81} = \frac{1}{243} \times 81 = \frac{81}{243} = \frac{1}{3}$

(3) (i) $P = (x + yi)(3 - i)$ で $x = 2, y = 3$ のときを計算します。

$P = (2 + 3i)(3 - i) = 6 - 2i + 9i - 3i^2 = 6 + 7i + 3 = 9 + 7i$

(3) (ii) $P = (x + yi)(3 - i) = 3x - xi + 3yi - yi^2 = 3x + y + (3y - x)i$

$P = 4$ となるのは、 $3x + y = 4$ かつ $3y - x = 0$ のときです。

$x = 3y$ を $3x + y = 4$ に代入すると、 $3(3y) + y = 4$ より $10y = 4$, $y = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

$x = 3y = 3(\frac{2}{5}) = \frac{6}{5}$

(4) 3桁の整数は100から999までです。5の倍数は、100, 105, ..., 995。個数は $(995 - 100)/5 + 1 = 895/5 + 1 = 179 + 1 = 180$個。

7の倍数でもあるものの個数を数えます。

5と7の最小公倍数は35です。100以上の35の倍数は105, 140, ..., 980。個数は $(980 - 105)/35 + 1 = 875/35 + 1 = 25 + 1 = 26$個。

5の倍数で7の倍数ではないものは、 $180 - 26 = 154$個。

3. 最終的な答え

(1) (i) $5 - 4\sqrt{3}$

(1) (ii) $4 - \sqrt{15}$

(2) $\frac{1}{3}$

(3) (i) $9 + 7i$

(3) (ii) $x = \frac{6}{5}, y = \frac{2}{5}$

(4) $154$