## 問題の回答

## 問題の回答

以下に、提示された問題の解答を示します。

### (1) 問題の内容

$3x^3 + 4x^2 - 7x + 1$ を $x^2 + 3x + 1$ で割ったときの余りを求める。

### (2) 解き方の手順

多項式の割り算を実行する。

```

3x - 5

x^2+3x+1 | 3x^3 + 4x^2 - 7x + 1

-(3x^3 + 9x^2 + 3x)

-------------------

-5x^2 - 10x + 1

-(-5x^2 - 15x - 5)

-------------------

5x + 6

```

したがって、余りは $5x + 6$。

### (3) 最終的な答え

$5x+6$

---

### (2) 問題の内容

$\frac{3}{x-6} - \frac{1}{x+1}$ を計算する。

### (2) 解き方の手順

分数の引き算を行うために通分する。

$\frac{3}{x-6} - \frac{1}{x+1} = \frac{3(x+1) - (x-6)}{(x-6)(x+1)}$

$= \frac{3x+3 - x + 6}{x^2 - 5x - 6}$

$= \frac{2x+9}{x^2 - 5x - 6}$

### (3) 最終的な答え

$\frac{2x+9}{x^2-5x-6}$

---

### (3) 問題の内容

$x^2 + x + 2 = (x+3)^2 - a(x+3) + 3a - 7$ が $x$ についての恒等式となるような定数 $a$ の値を求める。

### (2) 解き方の手順

右辺を展開して整理し、左辺と比較する。

$(x+3)^2 - a(x+3) + 3a - 7 = x^2 + 6x + 9 - ax - 3a + 3a - 7 = x^2 + (6-a)x + 2$

これが $x^2 + x + 2$ と恒等式になるので、

$6 - a = 1$

$a = 5$

### (3) 最終的な答え

$5$

---

### (4) 問題の内容

$\frac{1+2i}{3-i}$ を計算する。

### (2) 解き方の手順

分母の複素共役を掛けて分母を実数にする。

$\frac{1+2i}{3-i} = \frac{(1+2i)(3+i)}{(3-i)(3+i)} = \frac{3+i+6i+2i^2}{9-i^2} = \frac{3+7i-2}{9+1} = \frac{1+7i}{10}$

$= \frac{1}{10} + \frac{7}{10}i$

### (3) 最終的な答え

$\frac{1}{10} + \frac{7}{10}i$

---

### (5) 問題の内容

$x$ についての2次方程式 $x^2 - 3x + 4k = 0$ が虚数解をもつような定数 $k$ の値の範囲を求める。

### (2) 解き方の手順

判別式 $D$ が負となる条件を求める。

$D = (-3)^2 - 4(1)(4k) = 9 - 16k$

虚数解を持つためには、$D < 0$ である必要があるので、

$9 - 16k < 0$

$16k > 9$

$k > \frac{9}{16}$

### (3) 最終的な答え

$k > \frac{9}{16}$

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### (6) 問題の内容

2次方程式 $4x^2 + 5x - 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\alpha - \alpha\beta + \beta$ の値を求める。

### (2) 解き方の手順

解と係数の関係を利用する。

$\alpha + \beta = -\frac{5}{4}$

$\alpha\beta = -\frac{3}{4}$

$\alpha - \alpha\beta + \beta = (\alpha + \beta) - \alpha\beta = -\frac{5}{4} - (-\frac{3}{4}) = -\frac{5}{4} + \frac{3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

### (3) 最終的な答え

$-\frac{1}{2}$

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### (7) 問題の内容

$x^3 - 3x^2 - 4x + 8$ を $x+2$ で割ったときの余りを求める。

### (2) 解き方の手順

剰余の定理を利用する。$P(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 8$ とすると、$x+2$ で割った余りは $P(-2)$ で与えられる。

$P(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 4(-2) + 8 = -8 - 12 + 8 + 8 = -4$

### (3) 最終的な答え

$-4$

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### (8) 問題の内容

$x^3 - ax + 4$ が $x-1$ を因数にもつとき、定数 $a$ の値を求める。

### (2) 解き方の手順

因数定理を利用する。$P(x) = x^3 - ax + 4$ とすると、$x-1$ を因数にもつとき $P(1) = 0$ となる。

$P(1) = 1^3 - a(1) + 4 = 1 - a + 4 = 5 - a = 0$

$a = 5$

### (3) 最終的な答え

$5$