与えられた数学の問題を解き、指定された箇所を埋める問題です。具体的には以下の問題を解く必要があります。 (1) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{54}} + \frac{5}{3\sqrt{2}}$ を計算し、簡単にすること。 (2) $(3x-2y)^2 - (2x+3y)(-2x+3y)$ を展開し、整理すること。 (3) $6x^2 - 19x - 20$ を因数分解すること。 (4) 方程式 $|1-5x|=4$ の解を求めること。 (5) 連立不等式 $\begin{cases} 2x+0.7 > 0.4(1-x) \\ \frac{x-5}{7} + 1 \geq \frac{x-2}{5} \end{cases}$ の解を求めること。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題を解き、指定された箇所を埋める問題です。具体的には以下の問題を解く必要があります。

(1) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{54}} + \frac{5}{3\sqrt{2}}$ を計算し、簡単にすること。

(2) $(3x-2y)^2 - (2x+3y)(-2x+3y)$ を展開し、整理すること。

(3) $6x^2 - 19x - 20$ を因数分解すること。

(4) 方程式 $|1-5x|=4$ の解を求めること。

(5) 連立不等式 $\begin{cases} 2x+0.7 > 0.4(1-x) \\ \frac{x-5}{7} + 1 \geq \frac{x-2}{5} \end{cases}$ の解を求めること。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{54}} + \frac{5}{3\sqrt{2}}$ の計算

まず、$\sqrt{54}$ を簡単にします。

$\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6}$

したがって、$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{54}} = \frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{2} \sqrt{3}} = \frac{1}{3\sqrt{2}}$

次に、$\frac{5}{3\sqrt{2}}$ の分母を有理化します。

$\frac{5}{3\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{3\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{6}$

したがって、$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{54}} + \frac{5}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{3\sqrt{2}} + \frac{5}{3\sqrt{2}} = \frac{6}{3\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

(2) $(3x-2y)^2 - (2x+3y)(-2x+3y)$ の展開と整理

$(3x-2y)^2 = (3x)^2 - 2(3x)(2y) + (2y)^2 = 9x^2 - 12xy + 4y^2$

$(2x+3y)(-2x+3y) = (3y+2x)(3y-2x) = (3y)^2 - (2x)^2 = 9y^2 - 4x^2$

したがって、$(3x-2y)^2 - (2x+3y)(-2x+3y) = (9x^2 - 12xy + 4y^2) - (9y^2 - 4x^2) = 9x^2 - 12xy + 4y^2 - 9y^2 + 4x^2 = 13x^2 - 12xy - 5y^2$

(3) $6x^2 - 19x - 20$ の因数分解

$6x^2 - 19x - 20 = (2x-5)(3x+4)$

(4) 方程式 $|1-5x|=4$ の解

$|1-5x| = 4$ より、 $1-5x = 4$ または $1-5x = -4$

$1-5x = 4$ のとき、 $-5x = 3$ なので $x = -\frac{3}{5}$

$1-5x = -4$ のとき、 $-5x = -5$ なので $x = 1$

したがって、 $x = -\frac{3}{5}, 1$

(5) 連立不等式 $\begin{cases} 2x+0.7 > 0.4(1-x) \\ \frac{x-5}{7} + 1 \geq \frac{x-2}{5} \end{cases}$ の解

まず、一つ目の不等式を解きます。

$2x + 0.7 > 0.4 - 0.4x$

$2.4x > -0.3$

$x > -\frac{0.3}{2.4} = -\frac{3}{24} = -\frac{1}{8}$

次に、二つ目の不等式を解きます。

$\frac{x-5}{7} + 1 \geq \frac{x-2}{5}$

両辺に35をかけます。

$5(x-5) + 35 \geq 7(x-2)$

$5x - 25 + 35 \geq 7x - 14$

$5x + 10 \geq 7x - 14$

$24 \geq 2x$

$12 \geq x$

したがって、$x \leq 12$

したがって、連立不等式の解は $-\frac{1}{8} < x \leq 12$

3. 最終的な答え

(ア): $\sqrt{2}$

(イ): $13x^2 - 12xy - 5y^2$

(ウ): $(2x-5)(3x+4)$

(エ): $x = -\frac{3}{5}, 1$

(オ): $-\frac{1}{8} < x \leq 12$