$a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}$ とする。 (1) $a$ の分母を有理化し、簡単にせよ。 (2) $a + \frac{2}{a}$ の値を求めよ。また、$a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求めよ。 (3) $\frac{a^4}{a^4} - \frac{16}{a^2} - \frac{8}{a^2} - 1$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

$a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}$ とする。

(1) $a$ の分母を有理化し、簡単にせよ。

(2) $a + \frac{2}{a}$ の値を求めよ。また、$a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求めよ。

(3) $\frac{a^4}{a^4} - \frac{16}{a^2} - \frac{8}{a^2} - 1$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化する。

$a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{(3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{10})^2} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{18 - 10} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{8} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

(2) $a + \frac{2}{a}$ を求める。

$a + \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} + \frac{2}{\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} + \frac{4}{3\sqrt{2} + \sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} + \frac{4(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{(3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{10})^2} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} + \frac{4(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{8} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} + \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$

$a^2 + \frac{4}{a^2}$ を求める。

$(a + \frac{2}{a})^2 = a^2 + 4 + \frac{4}{a^2}$

$a^2 + \frac{4}{a^2} = (a + \frac{2}{a})^2 - 4 = (3\sqrt{2})^2 - 4 = 18 - 4 = 14$

(3) $\frac{a^4}{a^4} - \frac{16}{a^2} - \frac{8}{a^2} - 1$ の値を求める。

$\frac{a^4}{a^4} - \frac{16}{a^2} - \frac{8}{a^2} - 1 = 1 - (\frac{16}{a^2} + \frac{8}{a^2}) - 1 = -\frac{24}{a^2}$

$a^2 = (\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2})^2 = \frac{18 + 6\sqrt{20} + 10}{4} = \frac{28 + 12\sqrt{5}}{4} = 7 + 3\sqrt{5}$

$-\frac{24}{a^2} = -\frac{24}{7 + 3\sqrt{5}} = -\frac{24(7 - 3\sqrt{5})}{(7 + 3\sqrt{5})(7 - 3\sqrt{5})} = -\frac{24(7 - 3\sqrt{5})}{49 - 45} = -\frac{24(7 - 3\sqrt{5})}{4} = -6(7 - 3\sqrt{5}) = -42 + 18\sqrt{5}$

$\frac{a^4}{a^4} - \frac{16}{a^2} - \frac{8}{a^2} - 1= 1 - \frac{24}{a^2} - 1 = -\frac{24}{a^2} = -\frac{24}{7 + 3\sqrt{5}} = -42+18\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

(2) $a + \frac{2}{a} = 3\sqrt{2}$, $a^2 + \frac{4}{a^2} = 14$

(3) $\frac{a^4}{a^4} - \frac{16}{a^2} - \frac{8}{a^2} - 1= -42+18\sqrt{5}$