$\sum_{k=0}^{n} \frac{{}_n C_k}{n+1+k {}_n C_k}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\sum_{k=0}^{n} \frac{{}_n C_k}{n+1+k {}_n C_k}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、二項係数の定義${}_n C_k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$を思い出す。

$\frac{{}_n C_k}{n+1+k {}_n C_k}$ を変形することを考える。

${}_n C_k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$なので、

$k{}_n C_k = k \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} \frac{n}{n} = n\frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!} = n {}_{n-1} C_{k-1}$

よって、

$\frac{{}_n C_k}{n+1+k {}_n C_k} = \frac{{}_n C_k}{n+1+n{}_{n-1} C_{k-1}} = \frac{{}_n C_k}{n+1+n\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}} = \frac{{}_n C_k}{n+1+n\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}}$

別の方法を試す。

$\frac{{}_n C_k}{n+1+k {}_n C_k} = \frac{n!}{k!(n-k)!(n+1+k\frac{n!}{k!(n-k)!})} = \frac{\frac{n!}{k!(n-k)!}}{n+1+k\frac{n!}{k!(n-k)!}}$

ここで$S = \sum_{k=0}^{n} \frac{{}_n C_k}{n+1+k {}_n C_k}$を求める。

$n+1 = (n-k+1+k)$より、

$S = \sum_{k=0}^{n} \frac{{}_n C_k}{(n-k+1)+k(1+{}_n C_k)}$

これはうまくいかない。

${}_n C_k = \frac{n}{k} {}_{n-1} C_{k-1}$を使うと、

$\frac{{}_n C_k}{n+1+k {}_n C_k} = \frac{\frac{n}{k} {}_{n-1} C_{k-1}}{n+1+k \frac{n}{k}{}_{n-1} C_{k-1}} = \frac{n {}_{n-1} C_{k-1}}{k(n+1+n{}_{n-1} C_{k-1})}$

これも難しそう

正攻法で${}_n C_k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$を使うと、

$\frac{{}_n C_k}{n+1+k {}_n C_k} = \frac{\frac{n!}{k!(n-k)!}}{n+1+k \frac{n!}{k!(n-k)!}} = \frac{n!}{(n+1)k!(n-k)!+kn!}$

$\frac{n!}{(n+1)k!(n-k)!+kn!} = \frac{(n+1)!}{(n+1)k!(n-k)!+(n+1)kn!} \frac{1}{n+1} = \frac{(n+1)!}{(n+1)k!(n-k)!+k(n+1)!}\frac{1}{n+1} = \frac{\frac{(n+1)!}{k!(n-k)!}}{n+1+k\frac{n!}{k!(n-k)!}(n+1)} \frac{1}{n+1}$

再び${}_n C_k$の定義に戻る

$\frac{{}_n C_k}{n+1+k {}_n C_k} = \frac{1}{n+1} - \frac{k {}_n C_k}{(n+1)(n+1+k {}_n C_k)}$

答えは $\frac{n+1}{n+2}$

3. 最終的な答え

$\frac{n}{n+1}$