$x = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$、$y = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ とするとき、以下の値を求めます。 * $x+y$ * $xy$ * $x^2 + y^2$ * $x^3 + y^3$ * $x^4 + y^4$ * $x^5 + y^5$ * $x^{n+2} + y^{n+2}$ (ただし、$x^n + y^n = s$、$x^{n-1} + y^{n-1} = t$)

はい、承知しました。それでは、与えられた数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$、$y = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ とするとき、以下の値を求めます。

* $x+y$

* $xy$

* $x^2 + y^2$

* $x^3 + y^3$

* $x^4 + y^4$

* $x^5 + y^5$

* $x^{n+2} + y^{n+2}$ (ただし、$x^n + y^n = s$、$x^{n-1} + y^{n-1} = t$)

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$をそれぞれ有理化します。

$x = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$

$y = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$

次に、$x+y$と$xy$を計算します。

$x + y = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$

$xy = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(1) $x^2 + y^2$ を計算します。

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (\sqrt{5})^2 - 2\cdot\frac{1}{2} = 5 - 1 = 4$

(2) $x^3 + y^3$ を計算します。

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 + y^2) - xy(x+y) = (\sqrt{5})(4) - (\frac{1}{2})(\sqrt{5}) = 4\sqrt{5} - \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{8\sqrt{5} - \sqrt{5}}{2} = \frac{7\sqrt{5}}{2}$

(3) $x^4 + y^4$ を計算します。

$x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2 = (4)^2 - 2(\frac{1}{2})^2 = 16 - 2(\frac{1}{4}) = 16 - \frac{1}{2} = \frac{32 - 1}{2} = \frac{31}{2}$

$x^5 + y^5 = (x^2+y^2)(x^3+y^3) - x^2y^2(x+y) = 4 \cdot \frac{7\sqrt{5}}{2} - (\frac{1}{2})^2(\sqrt{5}) = 14\sqrt{5} - \frac{\sqrt{5}}{4} = \frac{56\sqrt{5} - \sqrt{5}}{4} = \frac{55\sqrt{5}}{4}$

(4) $x^{n+2} + y^{n+2}$ を計算します。

$x^{n+2} + y^{n+2} = (x+y)(x^{n+1} + y^{n+1}) - xy(x^n + y^n)$

$x^{n+2} + y^{n+2} = (x+y)t - xy s = \sqrt{5}t - \frac{1}{2}s$

3. 最終的な答え

* $x+y = \sqrt{5}$

* $xy = \frac{1}{2}$

* $x^2 + y^2 = 4$

* $x^3 + y^3 = \frac{7\sqrt{5}}{2}$

* $x^4 + y^4 = \frac{31}{2}$

* $x^5 + y^5 = \frac{55\sqrt{5}}{4}$

* $x^{n+2} + y^{n+2} = \sqrt{5}t - \frac{1}{2}s$