2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + a^2 - a$ について、以下の問いに答えます。ただし、$a$ は正の定数です。 (1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表してください。 (2) $0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最小値が $8$ であるとき、$a$ の値を求めてください。また、このとき、$0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最大値を求めてください。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + a^2 - a$ について、以下の問いに答えます。ただし、$a$ は正の定数です。

(1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表してください。

(2) $0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最小値が $8$ であるとき、$a$ の値を求めてください。また、このとき、$0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最大値を求めてください。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標を求めるために、平方完成を行います。

$f(x) = x^2 - 4x + a^2 - a$

$f(x) = (x^2 - 4x) + a^2 - a$

$f(x) = (x^2 - 4x + 4 - 4) + a^2 - a$

$f(x) = (x - 2)^2 - 4 + a^2 - a$

したがって、頂点の座標は $(2, a^2 - a - 4)$ となります。

(2) $0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最小値を考えます。軸は $x=2$ なので、$x=2$ が定義域に含まれます。したがって、$f(x)$ は $x=2$ で最小値をとります。

$f(2) = a^2 - a - 4$

最小値が $8$ であるから、

$a^2 - a - 4 = 8$

$a^2 - a - 12 = 0$

$(a - 4)(a + 3) = 0$

$a = 4, -3$

$a$ は正の定数なので、$a = 4$ です。

次に、$a = 4$ のとき、$0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最大値を求めます。

$f(x) = (x - 2)^2 + 4^2 - 4 - 4$

$f(x) = (x - 2)^2 + 16 - 8$

$f(x) = (x - 2)^2 + 8$

軸は $x=2$ であり、$x=0$ と $x=3$ を比較します。$x=0$ の方が軸から遠いので、$x=0$ で最大値をとります。

$f(0) = (0 - 2)^2 + 8 = 4 + 8 = 12$

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標：$(2, a^2 - a - 4)$

(2) $a = 4$ のとき、最大値は $12$