3次方程式 $x^3 - kx + 2 = 0$ が異なる実数解をいくつ持つかを、定数 $k$ の値に応じて求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - kx + 2 = 0$ が異なる実数解をいくつ持つかを、定数 $k$ の値に応じて求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を変形します。

$x^3 + 2 = kx$

$x=0$ は解ではないので、$x\neq 0$。両辺を $x$ で割ると、

$\frac{x^3 + 2}{x} = k$

$x^2 + \frac{2}{x} = k$

ここで、関数 $f(x) = x^2 + \frac{2}{x}$ を定義します。

$f(x)$ のグラフを描き、$y=k$ との交点の個数を調べれば、実数解の個数が分かります。

$f(x)$ を微分して極値を求めます。

$f'(x) = 2x - \frac{2}{x^2}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を探します。

$2x - \frac{2}{x^2} = 0$

$2x = \frac{2}{x^2}$

$x^3 = 1$

$x = 1$

$x = 1$ のとき、$f(1) = 1^2 + \frac{2}{1} = 1 + 2 = 3$

したがって、$(1, 3)$ が極値の候補です。

$f''(x) = 2 + \frac{4}{x^3}$

$f''(1) = 2 + \frac{4}{1^3} = 2 + 4 = 6 > 0$ なので、$x=1$ で極小値をとります。

$x \to \infty$ のとき、$f(x) \to \infty$

$x \to -\infty$ のとき、$f(x) \to \infty$

$x \to 0^+$ のとき、$f(x) \to \infty$

$x \to 0^-$ のとき、$f(x) \to -\infty$

したがって、$y = f(x)$ のグラフを描くと、$x > 0$ で極小値 $(1, 3)$ を持ち、$x < 0$ では、$x$ が小さくなるにつれて減少していくグラフになります。

$k$ の値に応じて、実数解の個数は次のようになります。

- $k < 3$ のとき、1個

- $k = 3$ のとき、2個

- $k > 3$ のとき、3個

3. 最終的な答え

- $k < 3$ のとき、実数解は1個

- $k = 3$ のとき、実数解は2個

- $k > 3$ のとき、実数解は3個