$a = \frac{4}{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}$ とする。 (1) $a$ の分母を有理化し、簡単にせよ。 (2) $a+\frac{2}{a}$ の値を求めよ。また、$a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求めよ。 (3) $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a = \frac{4}{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}$ とする。

(1) $a$ の分母を有理化し、簡単にせよ。

(2) $a+\frac{2}{a}$ の値を求めよ。また、$a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求めよ。

(3) $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化する。

$a = \frac{4}{3\sqrt{2}-\sqrt{10}} = \frac{4(3\sqrt{2}+\sqrt{10})}{(3\sqrt{2}-\sqrt{10})(3\sqrt{2}+\sqrt{10})} = \frac{4(3\sqrt{2}+\sqrt{10})}{(3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{10})^2} = \frac{4(3\sqrt{2}+\sqrt{10})}{18-10} = \frac{4(3\sqrt{2}+\sqrt{10})}{8} = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}$

(2) $a+\frac{2}{a}$ を求める。

$\frac{2}{a} = \frac{2}{\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2}+\sqrt{10}} = \frac{4(3\sqrt{2}-\sqrt{10})}{(3\sqrt{2}+\sqrt{10})(3\sqrt{2}-\sqrt{10})} = \frac{4(3\sqrt{2}-\sqrt{10})}{18-10} = \frac{4(3\sqrt{2}-\sqrt{10})}{8} = \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}{2}$

$a + \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2} + \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}{2} = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}+3\sqrt{2}-\sqrt{10}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$

次に、$a^2+\frac{4}{a^2}$ を求める。

$(a+\frac{2}{a})^2 = a^2 + 2\cdot a \cdot \frac{2}{a} + \frac{4}{a^2} = a^2 + 4 + \frac{4}{a^2}$

$a^2 + \frac{4}{a^2} = (a+\frac{2}{a})^2 - 4 = (3\sqrt{2})^2 - 4 = 9\cdot 2 - 4 = 18 - 4 = 14$

(3) $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1$ の値を求める。

$a^4 + \frac{16}{a^4} = (a^2 + \frac{4}{a^2})^2 - 2 \cdot a^2 \cdot \frac{4}{a^2} = (a^2 + \frac{4}{a^2})^2 - 8 = 14^2 - 8 = 196-8 = 188$

$a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = (a^2 + \frac{4}{a^2})(a^2 - \frac{4}{a^2}) - \frac{8}{a^2} - 1 = (14)(a^2 - \frac{4}{a^2}) - \frac{8}{a^2} - 1$

$a^2 = (\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2})^2 = \frac{18+6\sqrt{20}+10}{4} = \frac{28+12\sqrt{5}}{4} = 7+3\sqrt{5}$

$\frac{4}{a^2} = \frac{4}{7+3\sqrt{5}} = \frac{4(7-3\sqrt{5})}{(7+3\sqrt{5})(7-3\sqrt{5})} = \frac{4(7-3\sqrt{5})}{49-45} = \frac{4(7-3\sqrt{5})}{4} = 7-3\sqrt{5}$

$a^2 - \frac{4}{a^2} = (7+3\sqrt{5}) - (7-3\sqrt{5}) = 6\sqrt{5}$

$a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = 14(6\sqrt{5}) - 2(7-3\sqrt{5}) - 1 = 84\sqrt{5} - 14 + 6\sqrt{5} - 1 = 90\sqrt{5}-15$

$a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = (a^2+\frac{4}{a^2})(a^2-\frac{4}{a^2}) - \frac{8}{a^2} - 1 = 14(6\sqrt{5}) - 2(7-3\sqrt{5})-1 = 84\sqrt{5}-14+6\sqrt{5}-1=90\sqrt{5}-15$

別の解法:

$a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = (a^2-\frac{4}{a^2})^2 - \frac{8}{a^2} - 1+2*\frac{4}{a^2}^2-0$

$a^4-\frac{16}{a^4}-\frac{8}{a^2}-1=(a^2-\frac{4}{a^2})^2-1-\frac{8}{a^2} = (6\sqrt{5})^2 - 1 - 2(7-3\sqrt{5}) = 180-1-14+6\sqrt{5} = 165+6\sqrt{5}$

$a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = (a^2 - \frac{4}{a^2})^2 - \frac{8}{a^2} - 1 = (6\sqrt{5})^2 - (7-3\sqrt{5}) - 1 = (36)(5) -2(7-3\sqrt{5})-1= 180-14+6\sqrt{5}-1=165+6\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}$

(2) $a+\frac{2}{a} = 3\sqrt{2}$, $a^2 + \frac{4}{a^2} = 14$

(3) $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = 165+6\sqrt{5}$