与えられた行列 $A$ の行列式 $|A|$ を求める問題です。行列 $A$ は以下です。 $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ の行列式 $|A|$ を求める問題です。行列 $A$ は以下です。

$A = \begin{pmatrix}

2 & -1 & 0 & 0 \\

-1 & 2 & -1 & 0 \\

0 & -1 & 2 & -1 \\

0 & 0 & -1 & 2

\end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算します。行列式は、例えば余因子展開を使って計算できます。今回は、第1列で余因子展開を行うことにします。

$|A| = 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix}$

次に、2つの3x3行列の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 2(4-1) + (-2-0) = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4$

$\begin{vmatrix} -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix} = -1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} - 0 + 0 = -1(4-1) = -3$

したがって、

$|A| = 2 \cdot 4 - (-1) \cdot (-3) = 8 - 3 = 5$

3. 最終的な答え

5