次の2次不等式を解く問題です。 (1) $-x^2 + 7x - 10 > 0$ (2) $-x^2 + 5x \le 0$ (3) $-3x^2 - x + 3 \ge 0$ (4) $-2x^2 - 7x - 5 < 0$

1. 問題の内容

次の2次不等式を解く問題です。

(1) $-x^2 + 7x - 10 > 0$

(2) $-x^2 + 5x \le 0$

(3) $-3x^2 - x + 3 \ge 0$

(4) $-2x^2 - 7x - 5 < 0$

2. 解き方の手順

(1) $-x^2 + 7x - 10 > 0$

まず、両辺に-1をかけて、$x^2$の係数を正にします。不等号の向きが変わることに注意してください。

$x^2 - 7x + 10 < 0$

次に、左辺を因数分解します。

$(x - 2)(x - 5) < 0$

この不等式が成り立つのは、$2 < x < 5$のときです。

(2) $-x^2 + 5x \le 0$

まず、両辺に-1をかけて、$x^2$の係数を正にします。不等号の向きが変わることに注意してください。

$x^2 - 5x \ge 0$

次に、左辺を因数分解します。

$x(x - 5) \ge 0$

この不等式が成り立つのは、$x \le 0$または$x \ge 5$のときです。

(3) $-3x^2 - x + 3 \ge 0$

まず、両辺に-1をかけて、$x^2$の係数を正にします。不等号の向きが変わることに注意してください。

$3x^2 + x - 3 \le 0$

この2次式を解くために、解の公式を用います。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(3)(-3)}}{2(3)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 36}}{6} = \frac{-1 \pm \sqrt{37}}{6}$

したがって、$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{37}}{6}$と$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{37}}{6}$です。不等式が$3x^2 + x - 3 \le 0$なので、解は$\frac{-1 - \sqrt{37}}{6} \le x \le \frac{-1 + \sqrt{37}}{6}$です。

(4) $-2x^2 - 7x - 5 < 0$

まず、両辺に-1をかけて、$x^2$の係数を正にします。不等号の向きが変わることに注意してください。

$2x^2 + 7x + 5 > 0$

次に、左辺を因数分解します。

$(2x + 5)(x + 1) > 0$

この不等式が成り立つのは、$x < -\frac{5}{2}$または$x > -1$のときです。

3. 最終的な答え

(1) $2 < x < 5$

(2) $x \le 0$ または $x \ge 5$

(3) $\frac{-1 - \sqrt{37}}{6} \le x \le \frac{-1 + \sqrt{37}}{6}$

(4) $x < -\frac{5}{2}$ または $x > -1$