2次関数 $y = -x^2 + 4x + 6$ の、定義域 $-1 \le x \le 1$ における最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 4x + 6$ の、定義域 $-1 \le x \le 1$ における最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 4x + 6$

$y = -(x^2 - 4x) + 6$

$y = -(x^2 - 4x + 4 - 4) + 6$

$y = -((x-2)^2 - 4) + 6$

$y = -(x-2)^2 + 4 + 6$

$y = -(x-2)^2 + 10$

この2次関数は、頂点の座標が $(2, 10)$ で、上に凸の放物線です。定義域が $-1 \le x \le 1$ であるため、頂点の $x$ 座標 $x=2$ はこの範囲に含まれません。

次に、定義域の両端 $x = -1$ と $x = 1$ での $y$ の値を計算します。

$x = -1$ のとき、

$y = -(-1)^2 + 4(-1) + 6 = -1 - 4 + 6 = 1$

$x = 1$ のとき、

$y = -(1)^2 + 4(1) + 6 = -1 + 4 + 6 = 9$

頂点の $x$ 座標が定義域に含まれないため、最大値は定義域内の $x$ が頂点に一番近い場所、最小値は頂点から一番遠い場所でとります。

今回の場合は、$x=1$のとき最大値、$x=-1$のとき最小値をとります。

したがって、定義域 $-1 \le x \le 1$ における最大値は $9$ であり、最小値は $1$ です。

3. 最終的な答え

最大値：9

最小値：1