問題233として、次の2つの関数のグラフを描く問題です。 (1) $y = |2x+1|$ (2) $y = |x^2 + x|$

1. 問題の内容

問題233として、次の2つの関数のグラフを描く問題です。

(1) $y = |2x+1|$

(2) $y = |x^2 + x|$

2. 解き方の手順

(1) $y = |2x+1|$ のグラフを描く。

絶対値の中身である $2x+1$ が正または負で場合分けします。

* $2x+1 < 0$ のとき、つまり $x < -\frac{1}{2}$ のとき、$y = -(2x+1) = -2x - 1$

* $2x+1 \ge 0$ のとき、つまり $x \ge -\frac{1}{2}$ のとき、$y = 2x+1$

したがって、$x < -\frac{1}{2}$ の範囲では直線 $y = -2x - 1$ を、 $x \ge -\frac{1}{2}$ の範囲では直線 $y = 2x+1$ を描きます。

$x = -\frac{1}{2}$ のとき、$y = 0$ となります。

(2) $y = |x^2 + x|$ のグラフを描く。

絶対値の中身である $x^2+x$ が正または負で場合分けします。

* $x^2+x > 0$ のとき、$x(x+1) > 0$ なので、$x<-1$ または $x>0$の時、$y = x^2 + x$

* $x^2+x < 0$ のとき、$x(x+1) < 0$ なので、$-1<x<0$の時、$y = -(x^2 + x) = -x^2 - x$

* $x^2+x = 0$ のとき、$x(x+1) = 0$なので、$x=-1$または$x=0$の時、$y=0$

したがって、$x < -1$ または $x>0$ の範囲では $y = x^2 + x$ のグラフを、 $-1<x<0$ の範囲では $y = -x^2 - x$ のグラフを描きます。

3. 最終的な答え

(1) $y = |2x+1|$ は、

$x < -\frac{1}{2}$ のとき $y = -2x-1$、

$x \ge -\frac{1}{2}$ のとき $y = 2x+1$

(2) $y = |x^2 + x|$ は、

$x<-1$ または $x>0$ のとき $y = x^2+x$、

$-1<x<0$ のとき $y = -x^2-x$