問題は、「A が対称行列ならば、$A^2$ も対称行列であることを証明せよ」というものです。

1. 問題の内容

問題は、「A が対称行列ならば、$A^2$ も対称行列であることを証明せよ」というものです。

2. 解き方の手順

対称行列の定義は、$A^T = A$ です。ここで、$A^T$ は行列 A の転置を表します。

$A^2$ が対称行列であることを示すには、$(A^2)^T = A^2$ であることを示す必要があります。

$(A^2)^T = (A \cdot A)^T$ です。

行列の積の転置の性質より、$(A \cdot A)^T = A^T \cdot A^T$ となります。

問題文より、A は対称行列なので、$A^T = A$ です。

したがって、$A^T \cdot A^T = A \cdot A = A^2$ となります。

よって、$(A^2)^T = A^2$ が成り立つので、$A^2$ は対称行列です。

3. 最終的な答え

A が対称行列ならば、$A^2$ も対称行列である。