実数 $a$ を定数とする。3次方程式 $x^3 + 3ax^2 + 3a^2x + a^3 = 0$ の異なる実数解の個数が、定数 $a$ の値によってどのように変わるかを調べる。

1. 問題の内容

実数 $a$ を定数とする。3次方程式 $x^3 + 3ax^2 + 3a^2x + a^3 = 0$ の異なる実数解の個数が、定数 $a$ の値によってどのように変わるかを調べる。

2. 解き方の手順

与えられた3次方程式は、$x^3 + 3ax^2 + 3a^2x + a^3 = 0$ である。

これは、$(x+a)^3 = 0$ と因数分解できる。

$(x+a)^3 = 0$

したがって、$x+a = 0$ となり、$x = -a$ が3重解となる。

実数 $a$ の値がどのような値であっても、解 $x$ は実数である。また、解は $x = -a$ のみである。

したがって、異なる実数解の個数は常に1個である。

3. 最終的な答え

$a$ の値によらず、異なる実数解の個数は1個である。