$A$ が対称行列であるとき、$A^2$ も対称行列であることを証明する問題です。

1. 問題の内容

$A$ が対称行列であるとき、$A^2$ も対称行列であることを証明する問題です。

2. 解き方の手順

行列 $A$ が対称行列であるとは、$A^T = A$ が成り立つことを意味します。ここで、$A^T$ は $A$ の転置行列を表します。

$A^2$ が対称行列であることを示すためには、$(A^2)^T = A^2$ が成り立つことを示す必要があります。

まず、$A^2$ を定義に従って展開します。

$A^2 = A \cdot A$

次に、$A^2$ の転置行列を計算します。行列の積の転置は、転置行列の積の順番を逆にしたものに等しいという性質を利用します。つまり、$(AB)^T = B^T A^T$ が成り立ちます。

$(A^2)^T = (A \cdot A)^T = A^T A^T$

仮定より、$A$ は対称行列なので、$A^T = A$ です。したがって、

$A^T A^T = A \cdot A = A^2$

したがって、$(A^2)^T = A^2$ が成り立つので、$A^2$ は対称行列です。

3. 最終的な答え

$A$ が対称行列ならば、$A^2$ も対称行列である。