ある店の商品Aは、売り値が60円のときは1日に400個売れる。売り値を60円から1円値上げするごとに、1日に売れる個数が5個ずつ減少する。商品Aの売り値が60円以上として、1日の売り上げ高が最大になるのはいくらかを求める。

1. 問題の内容

ある店の商品Aは、売り値が60円のときは1日に400個売れる。売り値を60円から1円値上げするごとに、1日に売れる個数が5個ずつ減少する。商品Aの売り値が60円以上として、1日の売り上げ高が最大になるのはいくらかを求める。

2. 解き方の手順

売り値を $x$ 円とすると、値上げ額は $x-60$ 円。

売れる個数は $400 - 5(x-60)$ 個。

売り上げ高を $y$ 円とすると、

$y = x(400 - 5(x-60))$

$y = x(400 - 5x + 300)$

$y = x(700 - 5x)$

$y = 700x - 5x^2$

これは $x$ の2次関数であり、上に凸のグラフになる。最大値を求めるために、平方完成を行う。

$y = -5(x^2 - 140x)$

$y = -5(x^2 - 140x + 4900 - 4900)$

$y = -5((x - 70)^2 - 4900)$

$y = -5(x - 70)^2 + 24500$

$y$ は $x = 70$ のときに最大値 24500 をとる。

3. 最終的な答え

70円