ベクトル $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ を、ベクトル $\begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}$ の線形結合で表す。

1. 問題の内容

ベクトル $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ を、ベクトル $\begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}$ の線形結合で表す。

2. 解き方の手順

与えられたベクトル $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ を、$\begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}$ の線形結合で表すことを考えます。つまり、ある実数 $s$ と $t$ を用いて、次のように表せるかどうかを調べます。

$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = s \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}$

この式は、連立一次方程式として書き換えることができます。

$3s + t = 2$

$5s + 3t = 3$

この連立方程式を解きます。

1番目の式を3倍すると $9s + 3t = 6$ となります。

2番目の式 $5s + 3t = 3$ を引くと、

$(9s + 3t) - (5s + 3t) = 6 - 3$

$4s = 3$

$s = \frac{3}{4}$

$s = \frac{3}{4}$ を1番目の式に代入すると、

$3(\frac{3}{4}) + t = 2$

$\frac{9}{4} + t = 2$

$t = 2 - \frac{9}{4}$

$t = \frac{8}{4} - \frac{9}{4}$

$t = -\frac{1}{4}$

よって、$s = \frac{3}{4}$ と $t = -\frac{1}{4}$ が得られました。

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \frac{3}{4} \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix} - \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}$