与えられた表に基づいて、$x$ の値を求めたり、条件を満たす $x$ の範囲を求めたりする問題です。表にはA, B, C組の男子と女子の受験人数と平均点が記載されています。 (1) A組の平均点を求め、B組の平均点がA組の平均点と等しいときの$x$を求めます。 (2) C組の平均点がA組の平均点以上で、B組とC組の合計得点の差が300点以上であるような$x$の値を求めます。 (3) C組の男子2人が欠席し、後日同じ試験を受験し、この2人の得点の和を$k$点とします。当初、C組の平均点がA組の平均点以上でしたが、2人の得点を加えて計算し直したところ、C組の平均点がA組の平均点より低くなりました。このとき、$x$の値がただ1つに定まるような$k$の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた表に基づいて、$x$ の値を求めたり、条件を満たす $x$ の範囲を求めたりする問題です。表にはA, B, C組の男子と女子の受験人数と平均点が記載されています。

(1) A組の平均点を求め、B組の平均点がA組の平均点と等しいときの$x$を求めます。

(2) C組の平均点がA組の平均点以上で、B組とC組の合計得点の差が300点以上であるような$x$の値を求めます。

(3) C組の男子2人が欠席し、後日同じ試験を受験し、この2人の得点の和を$k$点とします。当初、C組の平均点がA組の平均点以上でしたが、2人の得点を加えて計算し直したところ、C組の平均点がA組の平均点より低くなりました。このとき、$x$の値がただ1つに定まるような$k$の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) A組の平均点を求める。

男子の合計点: $32 \times 60 = 1920$

女子の合計点: $8 \times 70 = 560$

A組全体の合計点: $1920 + 560 = 2480$

A組全体の人数: $32 + 8 = 40$

A組の平均点: $2480 \div 40 = 62$

B組の平均点を計算し、A組の平均点と等しいとおいて$x$を求めます。

男子の合計点: $(40-x) \times 65$

女子の合計点: $x \times 55$

B組全体の人数: $40-x + x = 40$

B組の平均点: $\frac{(40-x) \times 65 + x \times 55}{40}$

B組の平均点 = A組の平均点 より

$\frac{(40-x) \times 65 + x \times 55}{40} = 62$

$2600 - 65x + 55x = 2480$

$2600 - 10x = 2480$

$10x = 120$

$x = 12$

(2) C組の平均点を計算し、A組の平均点以上であるという条件から$x$の範囲を求めます。また、B組とC組の合計得点の差が300点以上であるという条件から$x$の範囲を求め、それらの条件を両方満たす$x$を求めます。

C組の平均点:

男子の合計点: $(x+5) \times 59$

女子の合計点: $(40-x) \times 64$

C組全体の人数: $x+5 + 40-x = 45$

C組の平均点: $\frac{(x+5) \times 59 + (40-x) \times 64}{45}$

C組の平均点 $\geq$ A組の平均点 より

$\frac{59x + 295 + 2560 - 64x}{45} \geq 62$

$-5x + 2855 \geq 2790$

$-5x \geq -65$

$x \leq 13$

B組の合計得点: $(40-x) \times 65 + x \times 55 = 2600 - 10x$

C組の合計得点: $(x+5) \times 59 + (40-x) \times 64 = 2855 - 5x$

B組とC組の合計得点の差: $|(2600 - 10x) - (2855 - 5x)| = |-255 - 5x| = |255 + 5x|$

$|255 + 5x| \geq 300$

$255 + 5x \geq 300$ または $255 + 5x \leq -300$

$5x \geq 45$ または $5x \leq -555$

$x \geq 9$ または $x \leq -111$

$1 \leq x \leq 39$ という条件があるので、$x \geq 9$

$x \leq 13$ と $x \geq 9$ を満たす $x$ は、$9 \leq x \leq 13$

$x = 9, 10, 11, 12, 13$

(3) C組の2人の男子の得点の和をkとします。

当初のC組の平均点はA組の平均点以上であったため、上記の計算より$\frac{2855-5x}{45} \geq 62$が成り立っていました。

2人の得点を加えた後のC組の平均点は$\frac{2855-5x+k}{47}$となります。これがA組の平均点より低くなったので、$\frac{2855-5x+k}{47} < 62$が成り立ちます。

$2855 - 5x + k < 2914$

$k < 5x + 59$

$x$の値がただ一つに定まるためには、ある$k$の値に対して、$k < 5x + 59$となる$x$が一つだけ存在する必要があります。

また、$x \in \{9, 10, 11, 12, 13\}$です。

$5x + 59$の値を計算すると、

$x=9$のとき、$5x+59 = 45+59=104$

$x=10$のとき、$5x+59 = 50+59=109$

$x=11$のとき、$5x+59 = 55+59=114$

$x=12$のとき、$5x+59 = 60+59=119$

$x=13$のとき、$5x+59 = 65+59=124$

例えば、$k = 104$とすると、$k < 5x + 59$となる$x$は存在しません。

$k = 103$とすると、$k < 5x + 59$となる$x$は$x=9$のみです。

$k = 108$とすると、$k < 5x + 59$となる$x$は$x=9, 10$の2つです。

$k=103$の場合、$x=9$のみ。

$k=108$の場合、$x=9, 10$。

$k=113$の場合、$x=9, 10, 11$。

$k=118$の場合、$x=9, 10, 11, 12$。

$k=123$の場合、$x=9, 10, 11, 12, 13$。

$5x+59$の値が連続する整数値の間にある$k$を探します。

$104 > k \geq 99$ であれば $x=9$ のみ。

$109 > k \geq 104$ であれば $x=9, 10$。

$113 < k' \leq 118$　であれば$x=12$のみ決定。

$108 < k' \leq 113$　であれば$x=11$のみ決定。

$103 < k' \leq 108$　であれば$x=10$のみ決定。

$98 < k' \leq 103$　であれば$x=9$のみ決定。

kは、このような条件になることはないはず。　問題の誤りか？？

3. 最終的な答え

(1) A組の平均点: 62点, B組の平均点がA組の平均点と等しいとき: $x=12$

(2) $9 \leq x \leq 13$, つまり $x = 9, 10, 11, 12, 13$

(3)　確認中　$k = 103$ と仮定する。