問題 (47): $x^3 - 13x^2y + 12xy^2$ を因数分解してください。

了解しました。画像に写っている数学の問題のうち、指定された問題番号の問題を解きます。

問題番号を指定してください。もし指定がない場合は、最初から順番に解いていきます。今回は、問題(47)から順番に解いていくことにします。

1. 問題の内容

問題 (47): $x^3 - 13x^2y + 12xy^2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、すべての項に共通因数 $x$ があるので、それをくくりだします。

$x(x^2 - 13xy + 12y^2)$

次に、括弧の中の二次式を因数分解します。$x^2 - 13xy + 12y^2$ は、$x$ についての二次式と見て、積が $12y^2$、和が $-13y$ となる2つの項を探します。それは $-y$ と $-12y$ です。

よって、$x^2 - 13xy + 12y^2 = (x - y)(x - 12y)$ となります。

したがって、元の式は $x(x - y)(x - 12y)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$x(x - y)(x - 12y)$

次に、問題 (48) を解きます。

1. 問題の内容

問題 (48): $x^2y + 4xy^2 - 12y^3$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、すべての項に共通因数 $y$ があるので、それをくくりだします。

$y(x^2 + 4xy - 12y^2)$

次に、括弧の中の二次式を因数分解します。$x^2 + 4xy - 12y^2$ は、$x$ についての二次式と見て、積が $-12y^2$、和が $4y$ となる2つの項を探します。それは $-2y$ と $6y$ です。

よって、$x^2 + 4xy - 12y^2 = (x - 2y)(x + 6y)$ となります。

したがって、元の式は $y(x - 2y)(x + 6y)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$y(x - 2y)(x + 6y)$

次に、問題 (49) を解きます。

1. 問題の内容

問題 (49): $2a^4 - 6a^3 - 36a^2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、すべての項に共通因数 $2a^2$ があるので、それをくくりだします。

$2a^2(a^2 - 3a - 18)$

次に、括弧の中の二次式を因数分解します。$a^2 - 3a - 18$ は、積が $-18$、和が $-3$ となる2つの項を探します。それは $-6$ と $3$ です。

よって、$a^2 - 3a - 18 = (a - 6)(a + 3)$ となります。

したがって、元の式は $2a^2(a - 6)(a + 3)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$2a^2(a - 6)(a + 3)$

次に、問題 (50) を解きます。

1. 問題の内容

問題 (50): $4(x - y)^2 - 12(x - y) + 9$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

$A = (x - y)$ と置換すると、$4A^2 - 12A + 9$ となります。

これは $(2A - 3)^2$ と因数分解できます。

$A$ を元に戻すと、$(2(x - y) - 3)^2 = (2x - 2y - 3)^2$ となります。

3. 最終的な答え

$(2x - 2y - 3)^2$

次に、問題 (51) を解きます。

1. 問題の内容

問題 (51): $(a + b)^2 + 9c^2 - 6c(a + b)$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

$A = (a + b)$ と置換すると、$A^2 + 9c^2 - 6cA$ となります。

これは $A^2 - 6cA + 9c^2 = (A - 3c)^2$ と因数分解できます。

$A$ を元に戻すと、$(a + b - 3c)^2$ となります。

3. 最終的な答え

$(a + b - 3c)^2$

次に、問題 (52) を解きます。

1. 問題の内容

問題 (52): $x^2(y - z) + y^2(z - y)$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

$x^2(y - z) + y^2(z - y) = x^2(y - z) - y^2(y - z) = (y - z)(x^2 - y^2)$

さらに、$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ なので、

$(y - z)(x - y)(x + y) = -(z - y)(x - y)(x + y) = -(x - y)(y - z)(x + y)$

3. 最終的な答え

$-(x-y)(y-z)(x+y)$

次に、問題 (53) を解きます。

1. 問題の内容

問題 (53): $4a^2 - (1 + a^2 - b^2)^2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

この式は差の二乗の形に似ています。 $4a^2 = (2a)^2$ なので、

$4a^2 - (1 + a^2 - b^2)^2 = (2a)^2 - (1 + a^2 - b^2)^2$

$A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ を使うと、

$(2a - (1 + a^2 - b^2))(2a + (1 + a^2 - b^2)) = (2a - 1 - a^2 + b^2)(2a + 1 + a^2 - b^2)$

$((b^2 - a^2) + 2a - 1)((a^2 + 2a) + 1 - b^2) = (b^2 - (a^2 - 2a + 1))((a^2 + 2a + 1) - b^2) = (b^2 - (a-1)^2)((a+1)^2 - b^2)$

さらに差の二乗を使うと、

$(b - (a-1))(b + (a-1))((a+1) - b)((a+1) + b) = (b - a + 1)(b + a - 1)(a + 1 - b)(a + 1 + b)$

3. 最終的な答え

$(b - a + 1)(b + a - 1)(a - b + 1)(a + b + 1)$

次に、問題 (54) を解きます。

1. 問題の内容

問題 (54): $(3x + 2y)^2 - (2x - 3y)^2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

この式は差の二乗の形 $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ で因数分解できます。ここで $A = (3x + 2y)$、 $B = (2x - 3y)$ とします。

$(3x + 2y)^2 - (2x - 3y)^2 = ((3x + 2y) - (2x - 3y))((3x + 2y) + (2x - 3y))$

$= (3x + 2y - 2x + 3y)(3x + 2y + 2x - 3y)$

$= (x + 5y)(5x - y)$

3. 最終的な答え

$(x + 5y)(5x - y)$

次に、問題 (55) を解きます。

1. 問題の内容

問題 (55): $a^2 + 4ab + 4b^2 - 4$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

$a^2 + 4ab + 4b^2 - 4 = (a + 2b)^2 - 2^2$

差の二乗 $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ を使うと、

$(a + 2b)^2 - 2^2 = (a + 2b - 2)(a + 2b + 2)$

3. 最終的な答え

$(a + 2b - 2)(a + 2b + 2)$

次に、問題 (56) を解きます。

1. 問題の内容

問題 (56): $x^2 - y^2 + 2yz - z^2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

$x^2 - y^2 + 2yz - z^2 = x^2 - (y^2 - 2yz + z^2) = x^2 - (y - z)^2$

差の二乗 $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ を使うと、

$x^2 - (y - z)^2 = (x - (y - z))(x + (y - z)) = (x - y + z)(x + y - z)$

3. 最終的な答え

$(x - y + z)(x + y - z)$

最後に、問題 (57) を解きます。

1. 問題の内容

問題 (57): $9x^2 - 12x - y^2 + 4$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

$9x^2 - 12x - y^2 + 4 = (9x^2 - 12x + 4) - y^2 = (3x - 2)^2 - y^2$

差の二乗 $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ を使うと、

$(3x - 2)^2 - y^2 = (3x - 2 - y)(3x - 2 + y) = (3x - y - 2)(3x + y - 2)$

3. 最終的な答え

$(3x - y - 2)(3x + y - 2)$