次の2つの4次方程式を解きます。 (1) $x^4 + 3x^2 - 10 = 0$ (2) $x^4 - 1 = 0$

代数学方程式4次方程式複素数因数分解
2025/7/13

1. 問題の内容

次の2つの4次方程式を解きます。
(1) x4+3x210=0x^4 + 3x^2 - 10 = 0
(2) x41=0x^4 - 1 = 0

2. 解き方の手順

(1) x4+3x210=0x^4 + 3x^2 - 10 = 0
x2=tx^2 = t とおくと、t2+3t10=0t^2 + 3t - 10 = 0 となります。
この2次方程式を解くと、
(t+5)(t2)=0(t+5)(t-2) = 0
t=5,2t = -5, 2
x2=5,2x^2 = -5, 2
したがって、
x=±5=±i5x = \pm \sqrt{-5} = \pm i\sqrt{5}
x=±2x = \pm \sqrt{2}
よって、x=±i5,±2x = \pm i\sqrt{5}, \pm \sqrt{2}
(2) x41=0x^4 - 1 = 0
(x2)212=0(x^2)^2 - 1^2 = 0
(x21)(x2+1)=0(x^2 - 1)(x^2 + 1) = 0
(x1)(x+1)(x2+1)=0(x-1)(x+1)(x^2 + 1) = 0
x1=0x-1 = 0 より x=1x = 1
x+1=0x+1 = 0 より x=1x = -1
x2+1=0x^2 + 1 = 0 より x2=1x^2 = -1
x=±1=±ix = \pm \sqrt{-1} = \pm i
よって、x=1,1,i,ix = 1, -1, i, -i

3. 最終的な答え

(1) x=±i5,±2x = \pm i\sqrt{5}, \pm \sqrt{2}
(2) x=1,1,i,ix = 1, -1, i, -i

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