(1) 多項式 $P(x)$ を $x+1$ で割ったときの余りが $1$ であり、$x-2$ で割ったときの余りが $7$ であるとき、$P(x)$ を $(x+1)(x-2)$ で割ったときの余りを求めよ。 (2) 多項式 $P(x)$ を $2x^2 + 9x - 5$ で割ると余りが $3x+5$ であり、$x-2$ で割ると余りが $-3$ であるとき、$P(x)$ を $x^2 + 3x - 10$ で割った余りを求めよ。

はい、承知いたしました。それでは、問題文を読み解き、それぞれの問題について回答します。

1. 問題の内容

(1) 多項式 $P(x)$ を $x+1$ で割ったときの余りが $1$ であり、$x-2$ で割ったときの余りが $7$ であるとき、$P(x)$ を $(x+1)(x-2)$ で割ったときの余りを求めよ。

(2) 多項式 $P(x)$ を $2x^2 + 9x - 5$ で割ると余りが $3x+5$ であり、$x-2$ で割ると余りが $-3$ であるとき、$P(x)$ を $x^2 + 3x - 10$ で割った余りを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$P(x)$ を $(x+1)(x-2)$ で割ったときの余りは、1次以下の多項式 $ax + b$ で表すことができます。

したがって、

$P(x) = (x+1)(x-2)Q(x) + ax + b$

と表せます。ここで、$Q(x)$ は商を表します。

余りの定理より、

$P(-1) = 1$

$P(2) = 7$

が成り立ちます。これらを代入すると、

$P(-1) = -a + b = 1$

$P(2) = 2a + b = 7$

この連立方程式を解きます。

$3a = 6$ より $a = 2$

$b = 1 + a = 1 + 2 = 3$

したがって、求める余りは $2x + 3$ となります。

(2)

$P(x)$ を $2x^2 + 9x - 5$ で割った余りが $3x+5$ であることから、

$P(x) = (2x^2 + 9x - 5)Q_1(x) + 3x + 5$

と表せます。また、$2x^2 + 9x - 5 = (2x-1)(x+5)$ と因数分解できます。

また、$P(x)$ を $x-2$ で割った余りが $-3$ であることから、$P(2) = -3$ が成り立ちます。

$P(x)$ を $x^2 + 3x - 10$ で割ったときの余りを $ax + b$ とすると、

$P(x) = (x^2 + 3x - 10)Q_2(x) + ax + b$

ここで、$x^2 + 3x - 10 = (x-2)(x+5)$ と因数分解できます。

したがって、$P(2) = 2a + b = -3$ が成り立ちます。

また、$P(x) = (2x-1)(x+5)Q_1(x) + 3x + 5$ より、$P(2) = (4-1)(2+5)Q_1(2) + 3(2) + 5 = 21Q_1(2) + 11 = -3$

$21Q_1(2) = -14$

$Q_1(2) = -\frac{2}{3}$

これは不適。

別の解法:

$P(x) = (2x^2+9x-5)Q(x) + 3x+5 = (2x-1)(x+5)Q(x) + 3x+5$

$P(x) = (x^2+3x-10)Q'(x) + ax+b = (x-2)(x+5)Q'(x) + ax+b$

$P(2) = 3(2)+5 = 11 = 2a+b$

$P(2) = -3 = 2a+b$

これは矛盾しているので、問題文が間違っているか、もしくは解けない問題です。

$P(x) = (2x^2 + 9x - 5)Q(x) + 3x + 5$

$P(x) = (x^2 + 3x - 10)Q_2(x) + ax + b$

$x^2 + 3x - 10 = (x-2)(x+5)$

$2x^2 + 9x - 5 = (2x - 1)(x+5)$

$P(2) = 3(2)+5=11$, $P(2)= -3$. これは矛盾している。

したがって、この問題は成立しない。

3. 最終的な答え

(1) $2x + 3$

(2) 問題文に矛盾があるため、解なし