(1) 横が縦より4cm長い長方形の紙がある。この紙の四隅から1辺が3cmの正方形を切り取り、直方体の容器を作ったら、容積が96 $cm^3$になった。紙の縦と横の長さを求めなさい。 (2) 横の長さが縦の長さの2倍の長方形の紙がある。この紙の四隅から1辺が3cmの正方形を切り取り、直方体の容器を作ったら、容積が168 $cm^3$になった。この紙の縦と横の長さを求めなさい。

1. 問題の内容

(1) 横が縦より4cm長い長方形の紙がある。この紙の四隅から1辺が3cmの正方形を切り取り、直方体の容器を作ったら、容積が96 $cm^3$になった。紙の縦と横の長さを求めなさい。

(2) 横の長さが縦の長さの2倍の長方形の紙がある。この紙の四隅から1辺が3cmの正方形を切り取り、直方体の容器を作ったら、容積が168 $cm^3$になった。この紙の縦と横の長さを求めなさい。

2. 解き方の手順

(1)

紙の縦の長さを $x$ cmとすると、横の長さは $(x+4)$ cmとなる。

四隅から1辺が3cmの正方形を切り取り、直方体を作ると、底面の縦の長さは $(x-6)$ cm、横の長さは $(x+4-6) = (x-2)$ cm、高さは3cmとなる。

容積は96 $cm^3$なので、

$3(x-6)(x-2) = 96$

$(x-6)(x-2) = 32$

$x^2 - 8x + 12 = 32$

$x^2 - 8x - 20 = 0$

$(x-10)(x+2) = 0$

$x = 10, -2$

$x>0$より、$x=10$。

縦の長さは10cm、横の長さは14cm。

(2)

紙の縦の長さを $x$ cmとすると、横の長さは $2x$ cmとなる。

四隅から1辺が3cmの正方形を切り取り、直方体を作ると、底面の縦の長さは $(x-6)$ cm、横の長さは $(2x-6)$ cm、高さは3cmとなる。

容積は168 $cm^3$なので、

$3(x-6)(2x-6) = 168$

$(x-6)(2x-6) = 56$

$2x^2 - 6x - 12x + 36 = 56$

$2x^2 - 18x - 20 = 0$

$x^2 - 9x - 10 = 0$

$(x-10)(x+1) = 0$

$x = 10, -1$

$x>0$より、$x=10$。

縦の長さは10cm、横の長さは20cm。

3. 最終的な答え

(1) 縦：10cm, 横：14cm

(2) 縦：10cm, 横：20cm