$x$ の2次方程式 $(a-3)x^2 + 2(a+3)x + a + 5 = 0$ が実数解をもつように、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$x$ の2次方程式 $(a-3)x^2 + 2(a+3)x + a + 5 = 0$ が実数解をもつように、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ についての2次方程式であることから、$x^2$ の係数である $a-3$ が0でない場合と、0である場合に分けて考えます。

(i) $a-3 \neq 0$ のとき、つまり $a \neq 3$ のとき

与えられた方程式は2次方程式なので、実数解をもつ条件は判別式 $D \geq 0$ です。

判別式 $D$ は、

$$D = \{2(a+3)\}^2 - 4(a-3)(a+5)$$

$$= 4(a^2 + 6a + 9) - 4(a^2 + 2a - 15)$$

$$= 4(a^2 + 6a + 9 - a^2 - 2a + 15)$$

$$= 4(4a + 24)$$

$$= 16(a+6)$$

したがって、$D \geq 0$ より、

$16(a+6) \geq 0$

$a+6 \geq 0$

$a \geq -6$

$a \neq 3$ という条件と合わせると、$a \geq -6$ かつ $a \neq 3$。

(ii) $a-3 = 0$ のとき、つまり $a = 3$ のとき

与えられた方程式は $0x^2 + 2(3+3)x + 3 + 5 = 0$ となり、

$12x + 8 = 0$

$12x = -8$

$x = -\frac{8}{12} = -\frac{2}{3}$

これは実数解を持つので、$a = 3$ も条件を満たします。

(i) と (ii) をまとめると、$a \geq -6$ です。

3. 最終的な答え

$a \geq -6$