不等式 $2a^2 + 9b^2 \ge 8ab$ を証明する過程の空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

不等式 $2a^2 + 9b^2 \ge 8ab$ を証明する過程の空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 不等式を証明するために、(左辺) - (右辺) が 0 以上であることを示す必要があります。したがって、(1)は (左辺) を埋めます。

(2) 同様に、(左辺) - (右辺) が 0 以上であることを示す必要があるので、(2)は 0 を埋めます。

(3) (左辺) - (右辺) $= 2a^2 + 9b^2 - 8ab = 2(a^2 - 4ab) + 9b^2$ と変形します。ここで、平方完成するために $a^2-4ab$ の部分を考えます。

$a^2 - 4ab = (a - 2b)^2 - 4b^2$ であるため、 $2(a^2 - 4ab) = 2(a-2b)^2 - 8b^2$ となります。

したがって、(左辺) - (右辺) $= 2(a-2b)^2 - 8b^2 + 9b^2 = 2(a-2b)^2 + b^2$ となります。

よって、(3) は $a^2 - 4ab + 4b^2 - 4b^2$ を埋めます。したがって、空欄（3）には、$a^2 - 4ab + 4b^2$が入ります。

(4) 上記より、(4) は $a - 2b$ を埋めます。

(5) $a-2b = 0$ かつ $b = 0$ のとき、すなわち $a = 2b$ かつ $b = 0$ ですから、$a = 0$ が導かれます。したがって、(5) は $a=0$ の時に等号が成立することを意味します。

3. 最終的な答え

(1): $2a^2 + 9b^2$

(2): $0$

(3): $a^2 - 4ab + 4b^2$

(4): $a - 2b$

(5): $a = 0$