問題は、双曲線関数 $\cosh{\psi} = \frac{e^\psi + e^{-\psi}}{2}$ と $\sinh{\psi} = \frac{e^\psi - e^{-\psi}}{2}$ が与えられたとき、行列の積 $\begin{pmatrix} \cosh{\psi} & \sinh{\psi} \\ \sinh{\psi} & \cosh{\psi} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cosh{\psi} \\ \sinh{\psi} \end{pmatrix}$ を計算することです。

1. 問題の内容

問題は、双曲線関数 $\cosh{\psi} = \frac{e^\psi + e^{-\psi}}{2}$ と $\sinh{\psi} = \frac{e^\psi - e^{-\psi}}{2}$ が与えられたとき、行列の積

$\begin{pmatrix} \cosh{\psi} & \sinh{\psi} \\ \sinh{\psi} & \cosh{\psi} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cosh{\psi} \\ \sinh{\psi} \end{pmatrix}$

を計算することです。

2. 解き方の手順

行列の積を計算します。

$\begin{pmatrix} \cosh{\psi} & \sinh{\psi} \\ \sinh{\psi} & \cosh{\psi} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cosh{\psi} \\ \sinh{\psi} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cosh^2{\psi} + \sinh^2{\psi} \\ \sinh{\psi}\cosh{\psi} + \cosh{\psi}\sinh{\psi} \end{pmatrix}$

ここで、$\cosh{\psi} = \frac{e^\psi + e^{-\psi}}{2}$ と $\sinh{\psi} = \frac{e^\psi - e^{-\psi}}{2}$ を代入します。

$\cosh^2{\psi} = (\frac{e^\psi + e^{-\psi}}{2})^2 = \frac{e^{2\psi} + 2 + e^{-2\psi}}{4}$

$\sinh^2{\psi} = (\frac{e^\psi - e^{-\psi}}{2})^2 = \frac{e^{2\psi} - 2 + e^{-2\psi}}{4}$

したがって、

$\cosh^2{\psi} + \sinh^2{\psi} = \frac{e^{2\psi} + 2 + e^{-2\psi}}{4} + \frac{e^{2\psi} - 2 + e^{-2\psi}}{4} = \frac{2e^{2\psi} + 2e^{-2\psi}}{4} = \frac{e^{2\psi} + e^{-2\psi}}{2} = \cosh(2\psi)$

次に、

$\sinh{\psi}\cosh{\psi} = (\frac{e^\psi - e^{-\psi}}{2})(\frac{e^\psi + e^{-\psi}}{2}) = \frac{e^{2\psi} - e^{-2\psi}}{4}$

したがって、

$\sinh{\psi}\cosh{\psi} + \cosh{\psi}\sinh{\psi} = 2 \sinh{\psi}\cosh{\psi} = 2 (\frac{e^{2\psi} - e^{-2\psi}}{4}) = \frac{e^{2\psi} - e^{-2\psi}}{2} = \sinh(2\psi)$

よって、行列の積は、

$\begin{pmatrix} \cosh^2{\psi} + \sinh^2{\psi} \\ \sinh{\psi}\cosh{\psi} + \cosh{\psi}\sinh{\psi} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cosh(2\psi) \\ \sinh(2\psi) \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} \cosh(2\psi) \\ \sinh(2\psi) \end{pmatrix}$