1番の問題は、2点 A(3, 1), B(4, 3) に対して、2AP = BP を満たす x 軸上の点 P の座標を求める問題です。 2番の問題は、点 P(3, 4) に関して、点 A(-1, 6) と対称な点 R の座標を求める問題です。 3番の問題は、条件 $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 2a_n + n - 1$ によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

1番の問題は、2点 A(3, 1), B(4, 3) に対して、2AP = BP を満たす x 軸上の点 P の座標を求める問題です。

2番の問題は、点 P(3, 4) に関して、点 A(-1, 6) と対称な点 R の座標を求める問題です。

3番の問題は、条件 $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 2a_n + n - 1$ によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

1番の問題：

点Pはx軸上にあるので、P(x, 0)とおける。

2AP = BP という条件は、ベクトルで考えると $\vec{AP} = (x-3, -1)$, $\vec{BP} = (x-4, -3)$となる。

2AP = BP は、2 $|\vec{AP}|$ = $|\vec{BP}|$ を意味するので、

$2 \sqrt{(x-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{(x-4)^2 + (-3)^2}$

両辺を2乗すると、

$4((x-3)^2 + 1) = (x-4)^2 + 9$

$4(x^2 - 6x + 9 + 1) = x^2 - 8x + 16 + 9$

$4x^2 - 24x + 40 = x^2 - 8x + 25$

$3x^2 - 16x + 15 = 0$

$(3x - 5)(x - 3) = 0$

$x = \frac{5}{3}, 3$

よって、Pの座標は $(\frac{5}{3}, 0)$, $(3, 0)$

2番の問題：

点Rは点A(-1,6)と点P(3,4)に関して対称なので、点Pは線分ARの中点である。

点Rの座標を(x,y)とすると、中点の公式より、

$\frac{-1+x}{2} = 3$, $\frac{6+y}{2} = 4$

$-1 + x = 6$, $6 + y = 8$

$x = 7$, $y = 2$

よって、点Rの座標は(7, 2)

3番の問題：

$a_{n+1} = 2a_n + n - 1$

$a_{n+1} + (n+1) = 2(a_n + n)$

$b_n = a_n + n$ とおくと、

$b_{n+1} = 2b_n$

数列 $\{b_n\}$ は公比2の等比数列なので、$b_n = b_1 \cdot 2^{n-1}$

$b_1 = a_1 + 1 = 1 + 1 = 2$

$b_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$

$a_n + n = 2^n$

$a_n = 2^n - n$

3. 最終的な答え

1番の問題： $(\frac{5}{3}, 0)$, $(3, 0)$

2番の問題： (7, 2)

3番の問題： $a_n = 2^n - n$