与えられた式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。2つの式があります。 (1) $2x^3 + 7x^2 + 9x + a = (x+b)(2x^2 + 3x + c)$ (2) $3x^2 - x + 1 = a(x-1)^2 + bx(x-1) + cx$

1. 問題の内容

与えられた式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。2つの式があります。

(1) $2x^3 + 7x^2 + 9x + a = (x+b)(2x^2 + 3x + c)$

(2) $3x^2 - x + 1 = a(x-1)^2 + bx(x-1) + cx$

2. 解き方の手順

(1)

右辺を展開して整理します。

$(x+b)(2x^2 + 3x + c) = 2x^3 + 3x^2 + cx + 2bx^2 + 3bx + bc = 2x^3 + (3+2b)x^2 + (c+3b)x + bc$

左辺と右辺の係数を比較します。

$x^3$ の係数: $2 = 2$

$x^2$ の係数: $7 = 3 + 2b$

$x$ の係数: $9 = c + 3b$

定数項: $a = bc$

$7 = 3 + 2b$ より、 $2b = 4$ なので、$b = 2$ です。

$9 = c + 3b$ に $b = 2$ を代入すると、$9 = c + 6$ より、$c = 3$ です。

$a = bc$ に $b = 2$ と $c = 3$ を代入すると、$a = 2 \times 3 = 6$ です。

(2)

右辺を展開して整理します。

$a(x-1)^2 + bx(x-1) + cx = a(x^2 - 2x + 1) + bx^2 - bx + cx = ax^2 - 2ax + a + bx^2 - bx + cx = (a+b)x^2 + (-2a - b + c)x + a$

左辺と右辺の係数を比較します。

$x^2$ の係数: $3 = a+b$

$x$ の係数: $-1 = -2a - b + c$

定数項: $1 = a$

$1 = a$ より、$a = 1$ です。

$3 = a+b$ に $a = 1$ を代入すると、$3 = 1+b$ より、$b = 2$ です。

$-1 = -2a - b + c$ に $a = 1$ と $b = 2$ を代入すると、$-1 = -2 - 2 + c$ より、$-1 = -4 + c$ なので、$c = 3$ です。

3. 最終的な答え

(1) $a = 6, b = 2, c = 3$

(2) $a = 1, b = 2, c = 3$