関数 $f(x) = \frac{x-1}{x}$ について、合成関数 $(f \circ f)(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{x-1}{x}$ について、合成関数 $(f \circ f)(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

合成関数 $(f \circ f)(x)$ は $f(f(x))$ を意味します。

まず、$f(x)$ を求め、その結果を再び $f$ に代入します。

ステップ1: $f(x)$ を求める。

$f(x) = \frac{x-1}{x}$

ステップ2: $f(f(x))$ を求める。

$f(f(x)) = f\left(\frac{x-1}{x}\right) = \frac{\frac{x-1}{x} - 1}{\frac{x-1}{x}}$

ステップ3: 式を簡略化する。

$f(f(x)) = \frac{\frac{x-1}{x} - \frac{x}{x}}{\frac{x-1}{x}} = \frac{\frac{x-1-x}{x}}{\frac{x-1}{x}} = \frac{\frac{-1}{x}}{\frac{x-1}{x}}$

$f(f(x)) = \frac{-1}{x} \cdot \frac{x}{x-1} = \frac{-1}{x-1}$

3. 最終的な答え

$(f \circ f)(x) = \frac{-1}{x-1}$